4. Умножение комплексных чисел.

Определим теперь для комплексных чисел операцию умножения.

Сначала положим по определению . Мы хотим, чтобы операция умножения действительных чисел была коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной относительно сложения.

Для этого необходимо определить умножение комплексных чисел следующим образом:

Иными словами, комплексные числа надо умножать как многочлены относительно буквы заменяя в результате на —1.

Прямая проверка, которую мы опускаем, показывает, что определенное таким образом умножение комплексных чисел действительно обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности относительно сложения.

Ранее уже было определено умножение комплексных чисел на действительные; поэтому надо еще проверить, что данное нами сейчас определение умножения сводится в случае, когда один из множителей действительный, к данному ранее. По формуле (1) имеем:

Это совпадает с формулой (4), п. 3.

Отметим формулы для степеней числа . Мы имеем:

Теперь уже легко видеть, что при возведении числа в степени с натуральными показателями имеет место периодичность значений степени: из равенства вытекает, что если то Иными словами, чтобы найти надо возвести в степень, показатель которой равен остатку отделения на 4.

Упражнения

(см. скан)