3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников.

Мы знаем, что точки, изображающие корни степени из единицы, лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат и являются вершинами правильного -угольника, вписанного в эту окружность. Одной из вершин этого правильного -угольника является точка

В предыдущем пункте мы получили для формулы, выражающие корни степени из единицы. Эти формулы содержат лишь квадратичные иррациональности.

Из геометрии известно, как, зная отрезки а и построить циркулем и линейкой их сумму, как построить отрезок длины и как делить отрезок на равные части. Пользуясь этим, можно, исходя из единичного отрезка, построить циркулем и линейкой вершины правильного -угольника при .

Знаменитый немецкий математик Гаусс исследовал в 1797 году вопрос о том, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой. Оказалось, что если число простое, то -угольник можно

построить циркулем и линейкой. Например, при получаем при имеем при имеем а при имеем . Числа 3, 5, 17 и 257 — простые. Поэтому правильные треугольник, пятиугольник, -угольник и -угольник можно построить циркулем и линейкой.

Будем называть простые числа вида гауссовскими. Из результатов Гаусса следует, что правильный -угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда , где различные между собой гауссовские простые числа. Например, правильный семиугольник нельзя построить циркулем и линейкой.