5. Умножение многочленов.

Так как многочлены — это частный случай целых рациональных выражений, то над ними можно выполнять действия сложения, вычитания и умножения. При этом будут получаться целые рациональные выражения, но, вообще говоря, эти выражения не будут многочленами. Например, складывая многочлены получим целое рациональное выражение Однако после приведения подобных членов (и перегруппировки по убыванию степеней мы уже получим многочлен дальнейшем под суммой, разностью, произведением двух многочленов мы будем понимать многочлен, получающийся после приведения соответствующего целого рационального выражения к каноническому виду. Например, произведением многочленов

и

мы назовем многочлен

получающийся из целого рационального выражения

после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

Действия над многочленами сводятся к действиям над их коэффициентами. Так, сложение многочленов сводится к сложению коэффициентов при одинаковых степенях х.

Рассмотрим, как выражаются через коэффициенты сомножителей коэффициенты произведения двух многочленов. Пусть даны многочлены:

и

Перемножая их, получим целую рациональную функцию

Раскроем скобки, воспользуемся формулой и приведем подобные члены. Получим многочлен:

который и является произведением многочленов

Старший член многочлена имеет степень и является произведением старших членов многочленов

Поэтому

Точно так же свободный член в является произведением свободных членов многочленов

Выясним, какой вид имеют остальные коэффициенты многочлена Член, содержащий появляется дважды: при умножении на и при умножении на . Поэтому коэффициент при этом члене равен . Итак,

Точно так же доказывается формула:

Легко заметить общий закон: сумма индексов в каждом слагаемом равна индексу искомого коэффициента:

При этом если или то некоторые члены в этом равенстве надо опустить — ведь в нет коэффициентов а, для которых нет коэффициентов для которых .

Например, по формуле (1) получаем, что

В дальнейшем нам понадобится следующее тождество:

Чтобы доказать это тождество, раскроем скобки в правой части. Члены, содержащие встретятся дважды: при умножении х на и при умножении на

Сумма этих произведений равна нулю:

Поэтому остаются лишь члены Тем самым тождество (2) доказано.

Точно так же доказывается тождество:

Упражнения

(см. скан)