6. Иррациональные неравенства.

Рассмотрим теперь иррациональные неравенства, то есть неравенства, содержащие неизвестное под знаком корня. Решение таких неравенств осложняется рядом обстоятельств. Во-первых, для иррациональных неравенств, как и для иррациональных уравнений, рассматриваются лишь арифметические значения корня. Иными словами, если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, равно как и значение корня. Кроме этого, неравенство вообще говоря, неравносильно неравенству . Ведь только для положительных а и из заведомо вытекает а из следует

Пример 1. Решить иррациональное неравенство

Сначала найдем область его определения. Ясно, что подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

Решая это неравенство, получаем множество А, состоящее из двух лучей Кроме того, корень принимает лишь неотрицательные значения, а потому и правая часть неравенства (1) должна быть неотрицательной: Пересекая множество А с лучом получаем луч Итак, мы доказали, что неравенство (1) задано в области . В этой области обе части

неравенства (1) принимают положительные значения и потому неравенство (1) равносильно неравенству

Наша задача свелась к решению системы неравенств:

Из второго неравенства получаем Значит, решением служит пересечение луча с лучом то есть луч Пример 2. Решить иррациональное неравенство

Это неравенство задано в области, определяемой ограничениями Их можно заменить одним неравенством . В области обе части неравенства (2) положительны, и потому оно равносильно неравенству Итак, мы заменили неравенство равносильной ему системой неравенств:

Она решается так же, как в примере 1. В результате получаем систему неравенств, равносильную неравенству (2):

Решая эту систему, находим, что

Упражнение 41 Решить иррациональные неравенства:

(см. скан)