3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами.

Займемся теперь разложением на множители многочленов с действительными коэффициентами. Из результатов следует, что их, как и любой многочлен с комплексными коэффициентами, можно разложить на линейные множители:

Однако среди этих множителей могут встретиться и множители, для которых не является действительным числом. Если мы хотим получить разложение на множители с действительными коэффициентами, надо сгруппировать сомножители, соответствующие сопряженным корням многочлена.

Изменим обозначение корней. Через будем обозначать действительные корни многочлена, а через

— его мнимые корни. Общее число корней равно и потому

Каждому действительному корню соответствует действительный сомножитель в разложении Корням же соответствует множитель

Таким образом, паре сопряженных комплексных корней

многочлена соответствует в разложении этого многочлена действительный множитель

Этот квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Заменяя таким образом все множители, соответствующие комплексным корням многочлена получим разложение вида

Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен в произведение действительных множителей и 2-й степени, причем множители 2-й степени не имеют действительных корней.

Упражнение 69. Разложить на действительные множители 1-й и 2-й степени следующие многочлены:

(см. скан)