3. Степень с целым отрицательным показателем.

Определим степень с целым отрицательным показателем — (то есть , где — натуральное) так, чтобы равенство атап выполнялось не только для натуральных и нулевых значений но для всех целых значений. Положим в этом равенстве Мы получим тогда, что

Отсюда следует, что при надо положить

При выражение не определяется.

Снова проверим, насколько согласуется введенное определение с физическим смыслом, который был придан значению а. Теперь нам надо найти значение величины при то есть за единиц времени до начала измерения. Обозначим это значение через т. Так как в течение каждой единицы времени значение величины изменяется в а раз, то за единиц времени значение величины изменится в раз и станет равным Но по условию при значение величины равно М. Поэтому значит, . С другой стороны, при значение величины должно равняться

. Поэтому . Мы снова пришли к тому же результату:

Мы распространили понятие степени на случай любого целого показателя — положительного, отрицательного и нулевого. Покажем, что при этом выполняются свойства 1) —5) степеней, сформулированные в (при этом, конечно, основания степеней должны отличаться от нуля).

Докажем, что выполняется равенство . Если то оно принимает вид , очевидно, имеет место, так как . Пусть теперь — целое отрицательное число. Тогда и потому

Но и потому имеем

Тем самым доказано выполнение равенства 1) и при целых отрицательных значениях

Точно так же доказывается выполнение равенства 2) .

Доказательство выполнения свойства 3) атап несколько сложнее, так как приходится разбирать несколько случаев, в зависимости от знаков чисел Мы разберем один из этих случаев, когда Обозначим через . Тогда и потому

Предоставляем читателю разобрать остальные случаи (включая и те, когда одно из чисел обращается в нуль). Доказательство равенства 4)

проводится тем же способом.

Наконец, докажем соотношение 5): при . Положим . Тогда и потому

Случаи, когда тип имеют иные знаки или обращаются в нуль, разбираются точно так же. Например, поскольку обе части равенства равны 1.

Итак, для степеней с любым целым показателем выполняются свойства 1) —5) из п. 1. Отметим еще некоторые свойства этих степеней.

Если а — положительное число, то для всех целых значений число положительно.

Имеют место равенства:

и

(здесь k обозначает любое целое число). Отсюда следует, что если а — отрицательное число, то положительно, отрицательно.

Примеры. Вычислить выражение

Сначала выполним указанные действия, а потом освободимся от отрицательных показателей. Итак, наше выражение равно:

Упражнения

(см. скан)