6. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ

Спектральная плотность определяется как преобразование Фурье от корреляционной функции:

Так как четная функция, то можно также написать

и

откуда следует, что — четная вещественная функция.

Из выражения (1.79) вытекает, что

Полагая получим

Взаимная спектральная плотность двух процессов определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции:

Учитывая соотношение (1.67), вместо последнего выражения можно написать

и, следовательно,

Применяя к выражению (1.84) обратное преобразование Фурье, получим

Полагая будем иметь

Если процессы некоррелированы и имеют равные нулю средние значения, то

причем в этом случае

Дифференцируя выражение (1.82) два раза по учитывая формулу (1.31), получим

и, следовательно, спектральная плотность для производной

может быть найдена по спектральной плотности для при помощи соотношения

Точно так же можно показать, что

Если принять, что функция содержит постоянную и гармонические составляющие, то можно написать

Характеристики, соответствующие уравнениям (1.93), показаны на рис. 1.13 и 1.14

Рис. 1.13. Спектральная плотность постоянной составляющей

Рис. 1.14. Спектральная плотность гармонической составляющей

Найдем спектральную плотность сигнала

Для корреляционной функции в этом случае будем иметь

Подставляя последнее выражение в формулу (1.79) и учитывая (1.93), найдем

Если функция представляет собой некоторый тригонометрический ряд

то спектральная плотность будет представлять собой разрывную функцию, состоящую из отдельных линий:

Заметим, что спектральная плотность как это следует из формулы (1.96), не содержит, так же как и корреляционная функция, никаких сведений о сдвигах фаз отдельных составляющих функции

Таким образом, в наиболее общем случае спектральная плотность состоит из непрерывной части и некоторого числа пиков при отдельных частотах (рис. 1.15).

Если процесс является белым шумом, то , следовательно,

т. е. является постоянной величиной, не зависящей от со (см. рис. 1.16).

Рис. 1.15. Спектральная плотность шума, содержащего периодическую составляющую

Рис. 1.16. Спектральная плотность белого шума

Пользуясь выражением (1.79), всегда можно найти по заданной функции (и обратно).

В качестве примеров определения спектральных плотностей рассмотрим два случая задания корреляционной функции.

Примем, что в первом случае

то ее спектральная плотность

Во втором случае примем, что корреляционная функция имеет вид

то ее спектральная плотность будет

Обычно в технических приложениях спектральная плотность процесса определяется как предел

где

т. е. как предел средней мощности

случайного процесса рассматриваемого на интервале .

Вообще говоря, выражение (1.100) справедливо лишь в том случае, если математическое ожидание случайной величины стремится к и ее дисперсия стремится к нулю при

Однако можно показать, что если функция является абсолютно интегрируемой, т. е.

то

и, следовательно, равенство (1.100) в этом случае верно.

Для доказательства формулы (1.103) представим в виде

но , следовательно,

На основании формулы (1.42а) вместо выражения (1.105) можно написать

При второй интеграл в выражении (1.106) стремится к нулю и мы получаем формулу (1.103). Условия, при которых дисперсия случайной величины стремится к нулю при связаны, как это было показано в § 3, с рассмотрением моментов четвертого порядка и здесь не. рассматриваются.

Из выражения (1.102) следует, что и поэтому математическое ожидание т. е. спектральная плотность также является неотрицательной функцией:

Физический смысл функции можно пояснить следующим образом. Если предположить, что есть ток, то выражение

можно рассматривать как среднюю мощность этого тока, протекающего через сопротивление в 1 ом. Из выражения (1.108) видно, что спектральная плотность в рассматриваемом случае имеет размерность энергии, вследствие чего она иногда называется энергетическим частотным спектром функции

Заметим, что в том случае, когда функция может быть представлена в виде

где — непрерывная функция.

Иногда оказывается удобным ввести понятие о нормированной спектральной плотности, имеющей размерность времени, при помощи формулы

Далее заметим, что

Действительно,

Спектральная плотность процесса может быть выражена непосредственно через его плотность вероятности второго порядка Введем преобразование Фурье от по х:

Так как

то из выражения (1.79), меняя порядок интегрирования, получим

Спектральная плотность процесса может быть определена экспериментально при помощи устройства, показанного на рис. 1.17,а, состоящего из анализатора спектра и вычислителя среднего значения квадрата выходной величины. Анализатор спектра может состоять из набора узкополосных фильтров. Обозначим через величину на выходе фильтра с полосой (см. рис. 1.17, б). При этом очевидно, что

и, следовательно,

Полученное выражение для спектральной плотности показывает, что ее значение пропорционально квадрату среднего значения случайного сигнала на выходе фильтра.

Рис. 1.17. Структурная схема спектрального анализатора