2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Преобразование Лапласа может быть использовано для определения функций чувствительности линейных динамических систем с постоянными параметрами. Обозначим через передаточную функцию системы, у которой параметры имеют отклонение на величину а от номинального значения. Тогда сигнал на выходе системы может быть представлен с помощью преобразования Лапласа следующим образом:

где преобразование Лапласа от входного сигнала системы

Если уравнение (VI. 17) является дифференцируемым по параметру, то, дифференцируя левую и правую части раз по а и приравнивая а нулю, получим

отсюда первая и вторая функции чувствительности равны:

В качестве примера определим функцию чувствительности системы первого порядка по отношению к изменениям постоянной времени при воздействии на вход единичной ступенчатой функции.

Для такой системы

Сигнал на выходе системы при номинальном значении постоянной времени

а функция чувствительности определяется соотношением

Сигнал системы с погрешностью по постоянной времени а определяется выражением

Перейдем к определению функций чувствительности систем автоматического управления, заданных не дифференциальным уравнением, а структурной схемой и передаточными функциями отдельных элементов.

Это дает возможность пользоваться экспериментальным методом для нахождения функции чувствительности с помощью электронных моделей. Рассмотрим динамическую систему, в которой коэффициент усиления одного из элементов А испытывает отклонения а от номинального значения т. е.

В общем случае элемент может быть расположен в любом месте структуры системы (рис. VI,1, а), а для расчета

использована эквивалентная схема (рис. VI, 1,6). Напишем для этой схемы следующие два уравнения:

где — преобразование Лапласа для сигнала наблюдаемого на входе элемента с коэффициентом усиления А;

— передаточные функции, связывающие различные точки системы с номинальными значениями параметров, т. е. при

Из уравнений (VI.22) находим

Рис. VI.1. Структурная схема исследуемой системы: а — исходная; б — приведенная к эквивалентному виду

Преобразования Лапласа для функций чувствительности такой системы могут быть определены путем дифференцирования по параметру а выражения с последующей подстановкой

Преобразование Лапласа для выходного сигнала системы, представленного в виде ряда (VI.I) с применением функций чувствительности, имеет следующий вид:

В соответствии с формулами (VI.24) и (VI.25) составим структурную схему последовательного вычисления функций (рис. VI.2). Эта же схема может быть

использована для определения функций чувствительности системы методами моделирования. При этом возможны два пути решения задачи:

а) на моделирующей установке набирают три одинаковые схемы, соответствующие исследуемой системе (рис. VI.2). Функции чувствительности и одновременно наблюдаются в соответствующих точках схемы;

б) на моделирующей установке набирают только одну схему системы. При этом должно быть использовано устройство, позволяющее записывать и воспроизводить сигналы в натуральном масштабе времени (например, с помощью магнитной записи).

Решение задачи выполняют в три цикла: в первом цикле записываются и сигнал во втором — сигнал подается в точку и системы, а на выходе регистрируется сигнал , одновременно с этим записывается сигнал в третьем цикле сигнал подается в точку и системы, в результате чего на выходе фиксируется сигнал, равный

Рис. VI.2. Схема определения функций чувствительности

Следует отметить, что если для исследования системы можно ограничиться использованием одной функции чувствительности первого порядка, то количество циклов моделирования или моделируемых схем сокращается до двух.

Структурный метод позволяет решить задачу отыскания функций чувствительности и в более общем случае, когда в состав системы входит несколько элементов, коэффициенты усиления которых испытывают отклонения от номинальных значений При этом предполагается, что передаточные функции всех элементов известны и могут быть вычислены передаточные функции, связывающие любые точки системы. В обобщенном виде эквивалентная схема такой системы приведена на рис. VI.3. Выходной сигнал может быть представлен следующим образом:

где Функция чувствительности системы по отношению к параметру . В выражении (VI.27) для простоты сохранены только линейные члены. Функции чувствительности системы могут быть определены на основании ее эквивалентной схемы.

Рис. VI.3. Структурная схема системы с к изменяющимися параметрами

Запишем выходной сигнал системы с помощью преобразования Лапласа:

где

Решая систему уравнений (VI.29) относительно и подставляя полученные значения в формулу (VI.28), после дифференцирования по параметрам с последующим приравниванием нулю получим выражение для преобразования Лапласа от функций чувствительности

Аналогично можно найти выражения. для функций чувствительности более высоких порядков.