при ограниченном значении интеграла от квадрата регулирующего воздействия 
приложенного к объекту, т. е. при условии, что
где Р — заданная постоянная величина.
Условие (VI 1.30) по существу эквивалентно ограничению мощности исполнительного устройства регулятора. Можно также предположить, что заданной является величина интеграла 
и необходимо обеспечить минимум интеграла 
Сформулированная задача является обычной задачей вариационного исчисления и может быть решена методом неопределенных множителей Лагранжа. Для применения этого, как известно, необходимо составить функционал
где X — неопределенный множитель Лагранжа, и найти условия его минимума, которые и будут представлять собой решение поставленной задачи.
Для упрощения математических операций ограничимся случаем воспроизведения, когда оператор 
и преобразуем выражения (VII.29) и (VII.30) в область комплексного переменного 
Пусть 
— функции, которые равны нулю для всех отрицательных значений 
ограничены для всех 
и стремятся к нулю, по крайней мере, так же быстро, как и функция 
при стремлении 
к бесконечности. Тогда на основании теоремы Парсеваля можем написать
и
Но необходимое и достаточное условие выполнения равенства (VI 1.39) состоит в том, чтобы все полюса подынтегрального выражения в нем были расположены в правой полуплоскости. Поскольку все полюса 
находятся в правой полуплоскости, то, следовательно, все полюса функции
должны быть расположены в правой полуплоскости.
Выражение (VI 1.40) можно переписать следующим образом:
Так как функция 
не изменяется при замене 
на 
то можно написать
где все нули и полюса функции 
расположены в левой, а функции 
в правой полуплоскости.
Аналогично выражению (VI 1.42) можно написать
где 
имеет все нули и полюса в левой полуплоскости.
Подставляя выражения (VII.42) и (VI 1.43) в формулу (VI 1.41), получим
или
Представим функцию 
в виде
где первый член в правой части содержит все полюса 
находящиеся в левой полуплоскости, а второй член, соответственно, — в правой полуплоскости.
Учитывая последнюю формулу, запишем уравнение (VI 1.45) в виде
Так как все полюса выражения в левой части этого уравнения находятся в левой полуплоскости, а все полюса выражения в правой части — в правой полуплоскости, то
и, следовательно,
По передаточной функции 
определяются значения 
и как функции X. При этом 
возрастающая, а убывающая функция X. Значение X можно найти из уравнения
Если известна передаточная функция замкнутой системы, то определение передаточной функции регулятора не представляет трудностей.
При выводе соотношения (VI 1.49) предполагалось, что 
не имеют особенностей на мнимой оси. Однако такое ограничение не является существенным. Если функции имеют особенности на мнимой оси, то полюса в начале координат необходимо заменить полюсами в точке 
а затем в конечном результате осуществить переход к пределу при 
, стремящемся к нулю.
Рассмотрим в виде примера следящую систему с серводвигателем, приводящим в движение инерционную нагрузку.
Передаточная функция серводвигателя с нагрузкой имеет вид
где 
— угол поворота серводвигателя;
— ток якоря серводвигателя;
— моментная постоянная серводвигателя 
- приведенный момент инерции якоря двигателя и нагрузки 
При наиболее напряженном режиме на вход системы подается в среднем один ступенчатый сигнал каждые 2 сек, среднеквадратическая амплитуда которого составляет 0,5 рад. Амплитуды последовательных ступенчатых входных сигналов не зависят друг от друга. Для того чтобы температура серводвигателя находилась в допустимых пределах, средняя потеря мощности в меди не должна превышать 10 вт.
Имея это в виду, найдем
или, если сопротивление обмотки 
, то
В данном примере необходимо вычислить передаточную функцию системы, которая обеспечивала бы минимальное значение интегральной оценки.
Для этого запишем
и
Функция 
имеет полюс в начале координат. Однако можно считать, что
где 
достаточно мало.
Тогда
и
Подставляя полученные значения функций в выражение 
получим
При 
будем иметь
Подставляя найденную передаточную функцию 
в выражение 
найдем
Но согласно заданию 
и поэтому 
тогда
И, наконец, интегральная оценка 
соответствующая этой передаточной функции, будет равна
представляющего собой заданную функцию времени. Пусть 
— идеальный желаемый выходной сигнал, сводящийся в случае задачи воспроизведения к входному сигналу 
и из регулятора, имеющего неизвестную передаточную функцию 
охваченных обратной связью. Требуется найти передаточную функцию 
регулятора, обеспечивающего оптимальные условия работы системы. В качестве критерия оптимизации [10] примем критерий минимума интегральной квадратичной ошибки:
произвольное приращение 
, получим
— всегда величина положительная. При подстановке 
вместо 
в выражение для 
последнее превращается в 
Следовательно, 
равно 
Поэтому, дифференцируя выражение (VI 1.36) по 
, а затем, полагая 
получим, что необходимым и достаточным условием минимума функционала (VI 1.31) является выполнение равенства
