4. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА НА ТРЕХ УРОВНЯХ

В оптимальной области, характеризующейся большой крутизной, линейное приближение становится неадэкватным. Поэтому необходимо перейти к таким схемам планирования эксперимента, которые позволяют отыскать математическое описание в виде полного полинома второго порядка.

Остановимся сначала на методе ортогонального центральнокомпозиционного планирования эксперимента (ОЦКП). Этот метод позволяет получить раздельные оценки для всех коэффициентов полинома второго порядка при минимальном количестве опытов. Общее число опытов определяется выражением

где — числр опытов, составляющих полный факторный эксперимент.

Если пренебрегать эффектами взаимодействия можно реализовать дробный факторный эксперимент и тем самым сократить число опытов;

— число звездных точек с координатами Значение плеча а для приведено в табл. II.6.

Таблица II.6

Единица в формуле соответствует центральной точке с координатами

Матрица ОЦК планирования эксперимента в общем виде дана в табл. II.7.

Схема ортогонального планирования выбрана таким образом, чтобы при введении преобразованной квадратичной переменной

выполнялись бы условия

отсюда следует, что появляется возможность независимой оценки всех коэффициентов уравнения регрессии как при линейных членах и взаимодействиях, так и при квадратичных членах. В этом случае все столбцы исходной матрицы будут некоррелированы. Это значительно упрощает вычисления оценок коэффициентов регрессии:

где средние значения выходной величины, соответствующие звездным точкам;

Дисперсии коэффициентов определяются по формулам

Недостаток ортогонального центрально-композиционного планирования связан с использованием найденного по экспериментальным данным уравнения регрессии. Можно показать, что

дисперсия выходной величины предсказанной этим уравнением, будет различна в зависимости от того, в каком направлении факторного пространства от центра планирования мы двигаемся.

Таблица II.7 (см. скан)

Различная надежность прогнозирования выходной величины по математической модели приводит к известным трудностям. Метод рототабельного центрально-композиционного планирования лишен этого недостатка. Если представить себе кривые в факторной плоскости соответствующие одинаковой дисперсии предсказания выходной величины Е, то они для рототабельного планирования представляют собой концентричные окружности. Схема рототабельного планирования экспериментов на трех уровнях отличается от ортогонального планирования плечом звездных точек а и числом центральных точек [2], [9].

Число опытов рототабельного планирования

Таблица II. 8 (см. скан)

где соответствует числу опытов полного факторного эксперимента (табл. II.8).

При большом числе факторов реализуется дробный факторный эксперимент.

— число звездных точек с координатами

Величина а здесь другая, чем при ортогональном планировании и может быть вычислена по формулам

Для значения а приведены в табл. II.9.

— число центральных точек; выбирается таким образом, чтобы дисперсия выходной величины, предсказанной уравнением регрессии, бьгла бы постоянна в окрестностях центра планирования на расстоянии Значения для разного

числа факторов также приведены в табл. II.9. Матрица рототабельного планирования эксперимента в общем виде дана в табл. II.8.

Таблица II.9

По результатам экспериментов в центре планирования может быть подсчитана дисперсия единичного измерения. Матрица рототабельного планирования эксперимента не является ортогональной, что несколько усложняет вычисление оценок для коэффициентов уравнения регрессии при квадратичных членах.

Введем вспомогательные расчетные коэффициенты [2]:

Выборочные коэффициенты регрессии определяются по формулам

Дисперсии коэффициентов будут равны: при линейных членах

при парных взаимодействиях

при квадратичных членах

Дисперсия свободного члена

Приведенные формулы для подсчета дисперсии при ортогональном и рототабельном планировании экспериментов на трех уровнях позволяют проверить значимость коэффициентов регрессии и адекватность представления результатов эксперимента полиномом второго порядка.

Если аппроксимация экспериментальных результатов полиномом второго порядка является неадэкватной, необходимо перейти к полиномамболее высокого порядка.

Планирование на двух уровнях связано, как правило, с большим числом экспериментов. Так, например, для рототабельного планирования при

Часто не удается обеспечить во время всего эксперимента стабильные условия: изменяется качество сырья от партии к партии, происходит старение оборудования и т. д. Все это приводит к резкому ухудшению воспроизводимости эксперимента со всеми вытекающими отсюда последствиями.

В работе [2] излагается метод разбиения полной схемы рототабельного планирования на отдельные небольшие ортогональные блоки, для которых представляется возможным сохранить стационарные условия проведения эксперимента. Разбиение на блоки производится таким образом, чтобы изменения условий эксперимента от блока к блоку не влияли бы, за исключением свободного члена уравнения, на оценки коэффициентов регрессии.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)