9. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ

Решение во временной области. Рассмотрим интегральное уравнение (111.61), позволяющее определить импульсную переходную функцию по заданным корреляционным функциям

Поскольку цифровая техника позволяет легко получать корреляционные функции, заданные дискретно, естественными являются методы, основанные на сведении уравнения (111.61) к системе линейных уравнений. Заменим бесконечный верхний предел у интеграла в уравнении (II 1.61) конечным числом Т:

Разбиваем интервал интегрирования уравнения (III. 104) на интервалов длины и заменяем интеграл конечной суммой. Тогда будем иметь

Полагая получаем уравнений с неизвестными. Матрица системы при этом имеет вид

Решение системы (111.105) представляет значения в точках

Казалось бы, что после сведения уравнения (III. 104) к системе (III. 105) никаких новых проблем не возникает. На самом же деле при попытках практически найти импульсную переходную функцию из системы (III. 105) сталкиваются с большими трудностями даже при наличии точных значений корреляционных функций.

Если же авто- и взаимнокорреляционные функции определяются с ошибкой, то полученное решение может существенно отличаться от точного решения даже при малых ошибках исходных данных. Поэтому чрезвычайно важным является вопрос о зависимости погрешности решения уравнения (III. 104) от погрешности в определении корреляционных функций.

Применительно к системе (III. 105), записанной в векторной форме

отмеченное выше обстоятельство сводится к тому, что небольшие изменения коэффициентов матрицы и вектора правой части вызывают существенное искажение решения

Системы уравнений, матрицы которых обладают указанным выше свойством, называются плохо обусловленными. Плохая обусловленность системы (III. 105) является следствием некорректности интегрального уравнения первого рода (III.104). Для некорректных задач характерно отсутствие непрерывной зависимости решения от вариации исходных данных. Таким свойством обладают все задачи статистической динамики, решение которых приводит к интегральным уравнениям первого рода [11].

Рис. III.14. Принципиальная схема управляемого фильтра

Для решения системы уравнений (III. 105) обычно применяется метод квадратных корней или итерационные методы (см., например, [7], [9]). Решение приведенной системы уравнений может буть также получено при помощи специального вычислительного устройства, представляющего собой управляемый временный фильтр с линией задержки. Это устройство осуществляет решение системы (III. 105) подбором неизвестных значений

Управляемый фильтр (рис. III. 14) состоит из линии задержки, составленной из звеньев, каждое из которых имеет запаздывание потенциометров, сумматора, измерителя ошибки и исполнительного устройства, передвигающего движки потенциометров [10]. На вход управляемого фильтра с выхода коррелятора подается сигнал, определяющий корреляционную функцию

На выходе сумматора управляемого фильтра будет получаться сигнал вида

совпадающий с правой частью выражения (III. 105). Этот сигнал подается на измеритель ошибки, где он сравнивается с выходом коррелятора, определяющим взаимную корреляционную функцию Сигнал рассогласования на выходе измерителя ошибки

поступает на исполнительное устройство, которое воздействует на движки потенциометров таким образом, чтобы обеспечить минимальное значение ошибки.

Следует подчеркнуть, что условие применимости данного метода тем лучше, чем „острее" корреляционная функция Например, в том случае, когда входное воздействие представляет собой белый шум, и корреляционной функцией является дельта-функция выражение (III. 108) будет иметь следующий вид:

Отсюда следует, что настройка каждого из движков на минимум в в этом случае не зависит от настройки других движков. В более общем случае этого может не быть, хотя обычно корреляционные функции имеют все же сравнительно острый центральный пик, что облегчает настройку схемы.

Для вычисления импульсных переходных функций, изложенным выше статистическим методом, применяются как универсальные, так и специализированные вычислительные машины [9]. Имеются также специализированные вычислительные машины, автоматически определяющие импульсные переходные функции по реализациям случайных процессов, заданных в виде кривых или электрических напряжений. Эти машины реализуют оба рассмотренных выше этапа вычислений: определение корреляционных функций и решение интегрального уравнения (III.61) относительно

Решение интегрального уравнения (III.61) в частотной области. Умножим обе части уравнений (II 1.61) на и проинтегрируем по от до

В результате получим

Произведя в правой части этого равенства замену переменной формуле будем иметь

Вводя спектральные, плотности

и учитывая, что

получим

Из выражения (III. 109) следует, что вещественная и мнимая частотные характеристики, соответствующие передаточной функции (III. 109), могут быть найдены при помощи формул

Таким образом, статистический метод определения передаточной функции состоит из двух основных этапов:

определения спектральных плотностей по заданным реализациям входа и выхода

определения частотных характеристик или передаточной функции при помощи формул (III. 110).

Заметим, что если входной сигнал представляет собой белый шум, т. е. то формулы (III.109), (III.110) упрощаются и принимают вид

и

О точности определения динамических характеристик. Воспользовавшись формулой (II 1.109), запишем импульсную переходную функцию следующим образом:

Очевидно, что формула (III. 113) справедлива лишь при условии, что при всех значениях о». Если же на некотором интервале то подынтегральное выражение в формуле (II 1.113) обращается в бесконечность в указанном интервале. При этом импульсная переходная функция может отличаться от истинной сколь угодно сильно. Но передаточная функция будет отличаться от истинной только в интервале частот которые и не содержались в воздействии так как в этом интервале

Рассмотрим теперь случай, когда исходные корреляционные функции даны с некоторой ошибкой. Тогда и соответствующие спектральные плотности также будут содержать ошибку. В этом случае выражение может быть записано в виде

где — спектры ошибок.

Непосредственно из рассмотрения формулы видно, что сколь угодно малая ошибка 8 может вызвать сколь угодно большое искажение решения (III.114) уравнения (III.61), если спектр ее распределен на тех участках оси где величины становятся сравнимыми с Из сказанного следует, что необходимое условие для точного определения функции по формуле (III. 113) состоит в том, чтобы спектр частот входного сигнала был значительно шире предполагаемой полосы пропускания исследуемого объекта.

От любого метода определения динамической характеристики разумно требовать такого приближения которое сводило бы разность выходных процессов реального объекта и его модели к некоторой малой величине при одном и том же процессе на входе. Действительно, ведь только по отклонению выходных величин при одинаковом процессе на входе мы можем судить о неидентичности объектов с точки зрения их динамических характеристик.

Естественно считать критерием или мерой точности определения динамической характеристики дисперсию этой разности, т. е.

Очевидно, что

Введем в рассмотрение относительное среднеквадратическое отклонение [1]

Физический смысл этого критерия заключается в том, что при оценке погрешности определения динамической характеристики принимается во внимание реакция объекта лишь на те частоты, которые присутствуют во входном процессе, причем с весом, пропорциональным спектральной плотности входного процесса

Критерий (III.117) дает ответ и на вопрос, какую информацию содержит решение (II 1.114) уравнения (II 1.61) о динамике исследуемого объекта. Действительно, в случае абсолютно точного определения имеем

Если определена не точно, но спектр ошибки сосредоточен в той области, где то Это означает, что по выходу мы не сможем отличить модель объекта от реального.

Если определена не точно и спектр ошибки распределен произвольным образом, то и критерий (III.117) характеризует погрешность определения динамической характеристики на тех частотах, присутствие которых во входном процессе существенно. Поэтому, несмотря на возможное большое отклонение от ошибка может быть малой, и выходные процессы реального объекта и его модели будут отличаться лишь незначительно.

Проиллюстрируем изложенные выше соображения на числовом примере. Предположим, что

Точное решение уравнения (111.61), полученное аналитически, в рассматриваемом случае таково:

На рис. III. 15 и III. 16 даны графики функций . Решая то же уравнение числовым методом (сведением к системе линейных алгебраических уравнений при ), получим приближенное решение, довольно близкое к точному.

Рис. III.15. Корреляционные и взаимокорреляци-онные функции

Рис. III.16. Импульсные переходные функции при различных точностях выполнений

График этого решения изображен на рис. III. 16 (кривая 2).

Рис. III. 17. Точные и приближенные значения амплитудной характеристики

При незначительном изменении исходных данных, не превышающем от максимального значения, графики измененных функций изображены на рис. 111.15 (кривые 2), решение же (кривая 3 на рис. III. 16) значительно отличается от точного.

Относительное среднеквадратическое отклонение в этом случае составляет

Оценим точность полученного решения в частотной области, используя критерий (III.117).

На рис. III. 17 изображены (кривая 1), (кривая 2) и (кривая 3). Вычисляя интегралы по формуле (111.117) приближенно по формуле прямоугольников, получим

Таким образом, мы видим, что, несмотря на большое расхождение между во временной области процессы на выходе систем, соответствующих переходным импульсным функциям и будут отличаться незначительно