2. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В СЛУЧАЕ ЕДИНИЧНОГО СТУПЕНЧАТОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Предположим, что система находится под влиянием детерминированного воздействия в виде единичной ступенчатой функции, и будем исходить из следующего Определения условий оптимума [6].

Назовем переходный процесс, вызванный ступенчатым воздействием, оптимальным, если он является монотонным и время переходного процесса имеет минимальное возможное значение совместимое с ограничением, наложенным на значение ускорения регулируемой величины. Решение задачи будем рассматривать в пределах линейных представлений.

Найдем прежде всего аналитическое выражение для переходного процесса, определенного выше. В течение периода разгона (рис. VII.2), когда ускорение сохраняет максимальное возможное значение переходный процесс определяется выражением

Однако нас интересует выражение для переходного процесса не только для периода разгона, но и для всех значений включая кериод замедления:

Легко видеть, что такого рода процесс может быть составлен из трех парабол (рис. VI 1.3), первая из которых определяется выражением (VI 1.15), но уже не только для периода разгона, а для всех вторая сдвинута вправо на и имеет постоянную по величине вторую производную, равную и, наконец, третья сдвинута вправо на и имеет значение второй производной, равное

Рис. VII.2. Оптимальный переходный процесс

Рис. VII.3. Представление оптимального переходного процесса в виде трех парабол

Итак, выражение для оптимального переходного процесса хопт (0 можно представить в виде

где через обозначены единичные ступенчатые функции.

Заметим, что

Величину в правой части выражения (VII. 17) условимся обозначать в дальнейшем через т. е.

Очевидно, что выражение (VII. 18) характеризует величину ступенчатого управляющего воздействия, которое нужно приложить к астатической системе с оптимальными характеристиками для того, чтобы получить переходный процесс вида (VII.16).

Действительно, так как уравнение ошибки

и в случае астатических систем

то при рассматриваемых нами условиях

Поэтому время оптимального переходного процесса при заданном максимальном ускорении зависит от величины приложенного ступенчатого воздействия и определяется соотношением

Найдем оптимальную передаточную функцию соответствующую переходному процессу (VII. 16), в предположении, что он вызван управляющим ступенчатым воздействием, имеющим величину, определяемую выражением (VII. 18), и приложенным в момент времени При этом очевидно, что

Применяя к обеим частям равенства (VII. 16) преобразование Лапласа, можем написать

и, следовательно,

Далее заметим, что должно быть выполнено следующее равенство:

Выполнение последнего можно проверить, продифференцировав дважды числитель и знаменатель выражения (VII.22) по (для раскрытия неопределенности при и положив затем Положив в формуле и отделяя вещественную часть от мнимой, получим следующие выражения для оптимальных вещественной и мнимой частотных характеристик:

Подставляя выражение (VII.22) в формулу

устанавливающую связь между передаточными функциями системы, соответственно в замкнутом и разомкнутом состояний (см. гл. VIII), найдем оптимальную передаточную функцию разомкнутой системы:

Формула (VII.25) может служить для определения оптимальных логарифмической амплитудной и фазовой вопт частотных характеристик разомкнутой системы.

Найдем формулу, определяющую частоту среза Для оптимальной логарифмической амплитудной характеристики. Напомним, что частотой среза называется угловая частота при которой имеет место равенство Но выражение эквивалентно [см. гл. VIII 1-й книги; уравнение (VIII.100)] равенству Поэтому, воспользовавшись формулой (VI 1.23), получим следующее трансцендентное уравнение для определения частоты среза :

Решение этого уравнения имеет вид

Итак, если нам удалось реализовать систему, имеющую передаточные функции (VII.22) и (VII.25) или частотные характеристики (VI 1.23) и (VI 1.24), то такого рода система будет обеспечивать оптимальные условия протекания переходного процесса при единичном управляющем воздействии.

Заметим, что полученные выражения для являются трансцендентными функциями от Это означает, что принятая нами форма оптимального переходного процесса, определяемого уравнением (VII. 16), не может быть точно реализована в случае линейной системы автоматического регулирования с сосредоточенными параметрами. Однако это не исключает возможности осуществления линейных систем с сосредоточенными параметрами, имеющих передаточные и переходные функции, достаточно близкие к оптимальным.

Рис. VII.4. Оптимальные логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы

На рис. VII.4 изображены оптимальные логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Наклон оптимальной логарифмической амплитудной характеристики при относительных частотах примерно равен при относительных частотах наклон характеристики резко возрастает.

Выше мы видели, каким образом могут быть определены оптимальные частотные характеристики в случае, когда нас интересует поведение системы под влиянием управляющего воздействия. Изложенный способ может быть применен и тогда, когда интерес представляет поведение системы под влиянием возмущающего воздействия. В этом случае выражение для оптимальной передаточной функции замкнутой системы по-прежнему будет иметь вид

но оптимальная передаточная функция разомкнутой системы будет определяться (см. гл. VIII, кн. 1) уже не формулой (VI 1.25), а выражением

где — передаточная функция системы автоматического регулирования при отключенной главной обратной связи.

При использовании оптимальных частотных характеристик необходимо иметь в виду следующее. Минимальное время соответствующее оптимальному переходному процессу, зависит, как это ясно из формулы (VII. 19), от величины управляющего воздействия (или начального рассогласования). Поэтому оптимальная частота среза должна определяться для ступенчатого управляющего воздействия, равного не единице, как это обычно делается для простоты, когда не учитывается ограниченность второй производной величины на выходе, а значению, выбираемому на основании рассмотрения конкретных интересующих нас условий работы системы. Так, например, им может служить наибольшее начальное рассогласование, при котором еще возможно линейное рассмотрение системы.