4. СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Ранее (в гл. VII кн. 1) было введено понятие запаздывающего звена, имеющего передаточную функцию вида

Запаздывающее звено представляет собою частный случай динамических элементов с распределенными параметрами.

Физически запаздывающее звено можно рассматривать как длинную электрическую линию без потерь, на конце которой включен импеданц, равный ее волновому сопротивлению, причем в этом случае

где I — индуктивность;

с — емкость на единицу длины;

- длина линии.

Такого рода длинная линия передает энергию в одном направлении без отражений, причем форма сигнала на входе и выходе линии остается одной и той же (рис. XI.5), но сдвигается во времени.

Понятие запаздывания оказывается полезным для описания процессов в длинных трубопроводах, в двигателях ракет, в теплообменниках, а также для построения приближенной модели многих сложных процессов, строгое математическое описание которых затруднительно.

Рис. XI.5. Форма сигналов на входе и выходе длинной линии

Рис. XI.6. Переходная функция динамического элемента с запаздыванием

В этих случаях переходные функции имеют вид, показанный на рис. XI.6. Так, например, система, имеющая переходную функцию, изображенную на рис. XI.6, приближенно может быть описана передаточной функцией

Часто представляет собой интерес обратная задача приближенного представления запаздывающего звена динамическим элементом с сосредоточенными параметрами. Решение этой задачи уже было рассмотрено в гл. VIII (табл. VIII. 1). В ряде случаев подобного рода замена упрощает задачу анализа и синтеза систем с распределенными параметрами.

Перейдем к рассмотрению передаточных функций и частотных характеристик систем автоматического регулирования с постоянным запаздыванием (рис. XI.7). Обозначим передаточную функцию разомкнутой системы без учета запаздывающего звена в виде где — полиномы от

Передаточная функция всей системы с запаздыванием в разомкнутом состоянии имеет вид

Рис. XI.7. Структурная схема автоматического регулирования с запаздыванием

а для передаточной функции замкнутой системы имеем

Выражение для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы можно найти из соотношения (XI.37), заменив через Полагая

запишем

Рассмотрение амплитудно-фазовой характеристики (XI.40) приводит к заключению, что запаздывание не влияет на вид амплитудной характеристики

Системы, отличающиеся друг от друга лишь величиной запаздывания, имеют, как это видно из формулы (XI.40), одинаковые амплитудные и различные фазовые характеристики. Следовательно, в таких системах не существует однозначной связи между амплитудными и фазовыми частотными характеристиками и они не относятся к числу минимально-фазовых систем.

Характеристическое уравнение с запаздыванием

отличается от характеристического уравнения системы без запаздывания

тем, что левая его часть является, так же как и в общем случае систем с распределенными параметрами, не полиномом, а трансцендентной функцией от X.

Для анализа устойчивости систем с запаздыванием целесообразно воспользоваться частотным критерием устойчивости, применимым, как это было показано выше, к системам с распределенными параметрами и, в частности, к системам с постоянным запаздыванием.

Фазовая характеристика разомкнутой системы с запаздыванием по сравнению с системой без запаздывающего звена имеет отрицательное приращение, пропорциональное частоте со, где коэффициентом пропорциональности является время запаздывания. Поэтому, вследствие отрицательного приращения фазы, с возрастанием со возможно нарушение устойчивости системы, вызываемое запаздыванием.

Назовем времена запаздывания и соответствующие им частоты при которых амплитудно-фазовая характеристика проходит через точку критическими.

При этом заметим, что если амплитудно-фазовая характеристика, проходя через точку не охватывает ее, то характеристическое уравнение имеет два корня, действительная часть которых равна нулю. Остальные корни имеют отрицательные действительные части.

Критические времена запаздывания и частоты определяются равенствами [5], [6]

Определив из уравнения (XI.42), найдем из равенства (XI.43) критические времена запаздывания.

Приведенное выше решение достаточно просто выполняется графически, путем определения в точке пересечения годографа с единичной окружностью, имеющей центр в начале координат (рис. XI.8).

Рис. XI.8. Графический метод определения критического времени запаздывания на плоскости

Рис. XI.9. Амплитуднофазовая частотаая характеристика абсолютно-устойчивой системы

Тогда критическое время запаздывания определяется по формуле

Исследуем ряд случаев:

1) пусть при в этом случае критические частоты отсутствуют; система будет устойчива при любом (рис. X 1.9);

2) пусть (XI.8) в некотором диапазоне частот, тогда имеем несколько критических частот

Рассмотрим в порядке убывания последовательно критические частоты Очевидно, для частоты угол будет наименьшим.

Следовательно, начиная с система с временем запаздывания будет неустойчивой.

Система с постоянным запаздыванием будет неустойчивой до тех пор, пока величина не будет превышать При значениях равных и больших система автоматического регулирования с запаздыванием будет устойчивой, так как в диапазоне частот амплитудно-фазовая характеристика по модулю будет меньше единицы. Очевидно, что при любых значениях в пределах где система (с запаздыванием ) будет устойчивой. В дальнейшем при система становится снова неустойчивой. Чередование явлений устойчивости и неустойчивости системы при непрерывном изменении а также других параметров является характерной особенностью многих систем с запаздыванием.

В заключение необходимо сделать следующие замечания: в системах автоматического регулирования для увеличения быстродействия и точности время запаздывания стремятся уменьшить;

система автоматического регулирования устойчива, если время запаздывания меньше минимального граничного времени запаздывания

Пример. Рассмотрим устойчивость системы автоматического регулирования давления, содержащую длинный трубопровод, соединяющий чувствительный элемент с исполнительным механизмом (рис. XI.10).

Рис. XI. 10. Принципиальная схема системы автоматического регулирования давления с длинным трубопроводом между чувствительным элементом и приводом исполнительного механизма; — перемещение регулирующей заслонки; — давление

Система регулирования состоит из датчика в виде мембранного чувствительного элемента, управляющего дросселированием сжатого воздуха, подаваемого из внешней сети. Воздух после дросселирования подается по длинному трубопроводу к мембранному серводвигателю, перемещающемуся пропорционально величине давления в пневматической сети. Перемещение мембранного серводвигателя вызывает перемещение клапана на выходном трубопроводе из объекта регулирования и тем самым изменение в нем давления. Применение в системе регулирования длинного трубопровода вызывает перемещение регулирующего органа через некоторое время с запаздывания т. Запишем уравнение процесса в регуляторе и объекте в следующем виде: для объекта

и для регулятора

где — время запаздывания.

Амплитудно-фазовая характеристика рассматриваемой системы имеет вид

Вводя обозначения амплитудно-фазовую характеристику (XI.44) можно представить в следующем виде [5], [6]:

где

Исследование влияния параметров системы на устойчивость процесса регулирования можно произвести графическим способом, приведенным выше.

Рис. XI.11. Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы, имеющей критическое время запаздывания

Рис. XI.12. Области устойчивых и неустойчивых состояний системы автоматического регулирования в зависимости от параметров Т и

Годограф представляет полуокружность. Для определения критической частоты и критического времени запаздываний имеем

а для безразмерной величины соответствующей

Найдем пересечение этой полуокружности с единичным кругом и проследим влияние параметров Т и на устойчивость системы (рис. XI.11).

Величина определяет критическое время Для данной системы регулирования это единственное значение критической постоянной запаздывания. Если время запаздывания систем то процесс регулирования устойчив, и наоборот.

Влияние статического передаточного коэффициента на устойчивость системы можно установить, учитывая, что при весь годограф располагается внутри единичной окружности и пересечения с ней не имеет. Следовательно, если , то система будет устойчивой при любом времени запаздывания . При система будет устойчивой, если постоянная

времени запаздывания Чем больше статический передаточный коэффициент, тем при меньшей постоянной запаздывания система теряет устойчивость (см. рис. XI.11). В случае нахождения системы на границе устойчивости в системе возникнут колебания с частотой

Построим границу устойчивости в области параметров (рис. XI.12). Значения критических частот и времени запаздывания определим по формулам

На рис. XI. 12 показана граница устойчивости в области параметров Т и . Область, лежащая ниже этой границы, соответствует параметрам устойчивой системы, так как при неизменном граничном значении статического коэффициента передачи постоянная времени системы для данной области всегда меньше граничного времени запаздывания.