5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Для дискретных систем с помощью z-преобразования можно получить выражения передаточных функций разомкнутых и замкнутых систем, аналогичные соотношениям, которые имеются в теории непрерывных систем. Рассмотрим непрерывный фильтр с передаточной функцией на который воздействует дискретный сигнал с импульсной модуляцией первого типа без запоминания. Тогда сигнал на выходе фильтра будет определяться соотношением

где импульсная переходная функция непрерывного фильтра, в котором учтены параметры реальных импульсов на входе.

Подставляя выражения (XIII.2) и (XIII.3) в формулу (XIII. 12), получим

где суммирование осуществляется до максимального целого меньшего

Пусть тогда

Умножая обе части этого равенства не и суммируя от 0 до получим

где

— передаточная функция фильтра;

представляет собой z-преобразование с запаздыванием для выходного сигнала.

С помощью формулы (XIII. 19) можно получить сигнал на выходе системы для любого момента времени Для дискретных моментов времени формула (XIII.19) будет иметь вид

Как уже было сказано выше, дискретные фильтры без запоминания редко применяются на практике. Поэтому, как правило, после ключа стоит запоминающий элемент. Наибольшее распространение получил запоминающий элемент нулевого порядка, который запоминает каждое дискретное значение в виде постоянного уровня до прихода следующего значения. Имея это в виду получим выражение, аналогичное формуле (XIII. 19) для такого

фильтра (рис. XIII. 17). Каждое дискретное значение на входе вызывает сигнал на выходе вида где

причем — реакция фильтра на единичную ступеньку.

Рис. XIII.17. Структурные схемы дискретного фильтра с запоминающим элементом нулевого порядка: а, б — для непрерывного выходного сигнала; в — для дискретного выходного сигнала

Поэтому сигнал на выходе фильтра определяется по формуле

Выполнив ряд преобразований [см. преобразование формулы (XIII.20)], получим

где

При этом

Учитывая, что и применяя теорему запаздывания для -преобразования (см. приложение III)

получим из соотношения (XIII.24) формулы (XIII.23).

Для имеем

где

Так как импульсная переходная функция запоминающего элемента нулевого порядка имеет прямоугольную форму, то часто его передаточную функцию записывают в следующем виде:

Можно доказать, что система, которая преобразует непрерывный входной сигнал в непрерывный сигнал на выходе таким же образом, как в системе ключа с непрерывным фильтром, является системой с периодически меняющимися параметрами. Спектр выходного сигнала равен произведению спектра дискретного входного сигнала на частотную характеристику фильтра:

или

Таким образом, обозначая

получим следующее выражение для спектра на выходе фильтра в момент времени

Как видно из последнего выражения, функция является частотной характеристикой дискретного фильтра. Она периодически зависит от времени, т. е. импульсный фильтр является системой с периодически меняющимися параметрами. Для определения величины достаточно ее знать в промежутке от нуля до Это можно пояснить следующим образом. Полагая в формуле (XIII.25) получим

или, учитывая формулу (XIII. 14), будет иметь

Следовательно, параметрическая передаточная функция зависит от локального времени а. Далее, используя выражение (XIII.26), можно к дискретным фильтрам применить общую теорию фильтров с переменными, параметрами. На основании этой теории вводится импульсная переходная функция как реакция на выходе фильтра на единичный дельта-импульс приложенный на входе в момент времени Для линейных фильтров с постоянными параметрами импульсная переходная функция зависит только от так называемой возрастающей переменной

Известную зависимость частотной характеристики с импульсной переходной функцией можно переписать в следующем виде:

В общем случае для фильтра с переменными параметрами эта зависимость будет

Подставляя в последнее выражение вместо величины формулу (XIII.25), получаем

Таким образом,

где

Из формулы (XIII.30) следует, что фильтр реагирует только на те входные импульсы, которые прикладываются в моменты времени

Рассмотрим теперь методы расчета замкнутых дискретных систем. Возьмем для этого импульсную систему с дискретным сигналом ошибки (рис. XIII. 18, а). Для дискретных значений сигнала ошибки имеем

Воспользуемся -преобразованием для обеих частей этого равенства, тогда получим

Далее, учитывая, что получим

В формулах (XIII.31) и (XIII.32) через обозначена передаточная функция разомкнутой системы автоматического регулирования.

Эти формулы позволяют вычислять выходной сигнал и сигнал ошибки дискретной системы в дискретные моменты времени по известному входному сигналу (рис. XIII.18, б).

Рис. XIII.18. Структурные схемы дискретной следящей системы: а — для непрерывного выходного сигнала; — для дискретного выходного сигнала; в — преобразованная схема с непрерывной выходной частью системы; г — преобразованная схема с дискретной выходной частью системы

Введем передаточные функции замкнутой системы относительно выходного сигнала и сигнала ошибки, т. е.

Тогда формулы (XIII.31) и (XIII.32) можно записать в виде (XIII.35)

Полученные соотношения справедливы для дискретных систем с запоминающим элементом и без него. В первом случае передаточная функция запоминающего элемента должна быть включена в передаточную функцию непрерывной части разомкнутой системы, т. е. вместо следует подставить а для определения передаточной функции разомкнутой системы использовать формулу (XIII.24),

Для вычисления выходного сигнала внутри интервала дискретности воспользуемся следующей формулой:

где - z-преобразование входного сигнала.

Однако последней формулой пользоваться неудобно, поэтому применяют z-преобразование с запаздыванием, которое позволяет найти значения выходного сигнала в любой момент времени. Из формул (XIII.32) и (XIII.37), видно, что дискретный сигнал ошибки воздействует на непрерывный фильтр с передаточной функцией (рис. XIII. 18, в). В соответствии с выражением (XIII.19) определим сигнал на выходе замкнутой системы в моменты времени по следующим формулам:

Строго говоря, полученные для замкнутой системы формулы [4] справедливы для случая

Рис. ХIII.19. Общая структурная схема дискретно-непрерывной системы

В инженерной практике очень часто встречаются дискретные системы, как правило, с обратной связью, для которых невозможно написать для дискретных моментов съема информации передаточную функцию, не зависящую от входного сигнала. Такое положение возникает всякий раз, когда непрерывный сигнал сначала проходит через непрерывный фильтр, затем поступает на ключ, после которого сигнал подается на второй непрерывный фильтр (см. рис. XIII.19). В этом случае передаточная функция такой системы, равная отношению дискретных преобразований выходного и входного сигнала, будет зависеть от передаточной функции первого фильтра.

Условно такие системы названы дискретно-непрерывными во времени. Сигнал на выходе дискретно-непрерывной системы (рис. XIII. 19) определяется по следующей формуле:

где

Первый фильтр условно называется непрерывной частью дискретно-непрерывной системы, второй фильтр

дискретной частью системы. В общем случае согласно формуле (XIII.40) передаточная функция двух непрерывных фильтров, последовательно соединенных через ключ, зависит от входного сигнала

Такие системы мы условно будем называть дискретно-непрерывными системами во времени или для краткости просто дискретно-непрерывными системами. Этим термином подчеркивается, что в системе имеется непрерывная часть [фильтр W(s)] и дискретная часть [ключ и фильтр ]. При дискретно-непрерывная система сводится к дискретной.

При составлении передаточных функций замкнутых дискретнонепрерывных систем необходимо применять специальные приемы. Рассмотрим дискретную систему, структурная схема которой приведена на рис. XIII.20, а. Выходной сигнал следящей системы непрерывен. В обратную связь подается дискретный сигнал, который воздействует на фильтр с передаточной функцией . В измерительном звене сравниваются два непрерывных сигнала: входной и выходной [последний снимается с фильтра ]. Непрерывный сигнал ошибки поступает на фильтр Для вывода выражения, определяющего выходной сигнал, разорвем цепь обратной связи перед ключом и будем считать, что на вход фильтра подается свой независимый сигнал . В этом случае сигнал на входе фильтра будет

где - z-преобразование с запаздыванием, соответствующее

Для замкнутой системы Поэтому, учитывая свойство -преобразования получим

Подставляя последнее выражение в формулу (XIII.41а), окончательно имеем

Для дискретных моментов

Структурная схема, приведенная на рис. XIII.20, б, соответствует случаю, когда в непрерывной следящей системе

обыкновенный переключатель подает на измерительное звено сигнал обратной связи в короткий промежуток времени. Длительность этого промежутка должна быть такой, чтобы за время приложения сигнала обратной связи входной сигнал и импульсные переходные функции всех фильтров можно было считать постояннымй.

Рис. ХIII.20. Структурные схемы различных дискретно-непрерывных систем автоматического управления

Измерительное звено сравнивает амплитуды или фазы этих сигналов. Сигнал на выходе фильтра при разомкнутой обратной связи будет

где — сигнал на выходе ключа.

Замкнув обратную связь, получим

Сигнал на входе следящей системы имеет вид

Подставляя в последнюю формулу выражение для функции получим

Для дискретных моментов найдем

где — преобразование, соответствующее

— произведение двух -преобразований; соответствует соответствует

На блок-схеме (XIII.20, д) изображена система управления с цифровой вычислительной машиной, передаточная функция которой обозначена через Передаточная функция для выходного сигнала имеет вид

Структурная схема, приведенная на рис. XII 1.20, в, соответствует системе управления с автономной дискретной следящей системой в обратной цепи. На рис. XIII.20, в передаточная функция разомкнутой непрерывной автономной системы обозначена Для того чтобы получить передаточную функцию дискретной системы управления, разомкнем контур перед ключом. Обозначая сигналы на выходе новой системы и на входе ключа через запишем

Полагая получим

Полагая получим

Подставляя это выражение в формулу (XIII.42), будем иметь

Полагая получим

Для структурной схемы, показанной на рис. XIII.20, г, имеем

В системе автоматического регулирования с автономной дискретной следящей системой в прямой цепи (рис. XIII.20, е) произведем разрыв цепи перед ключом и подадим на вход ключа сигнал Выходной сигнал перед разрывом обозначим через , тогда получим

Полагая получим

Подставляя последнее выражение в формулу (XIII.43), получим выражение для выходного сигнала

При

Из полученного соотношения видно, что передаточная функция системы не зависит от входного сигнала. Система, описываемая этой передаточной функцией, является дискретной.

В заключение рассмотрим систему (рис. XII 1.20, ж), которая имеет автономную дискретную следящую систему в цепи обратной связи. Основной контур системы управления работает как непрерывный. Разомкнем контур перед ключом и обозначим сигнал на входе его через а на выходе измерительного звена через тогда

и

Полагая в этих соотношениях получим

Подставляя последнюю формулу в соотношение (XIII.44), получим

Для проверки правильности соотношений, полученных для дискретных систем, сравним их с соответствующими формулами для непрерывных систем. Если в структурной схеме (рис. XIII.20, ж) ключ замкнут, то между входным и выходным сигналами справедливо следующее соотношение:

Нетрудно убедиться, что эту формулу можно получить из выражения (XIII.45), если тогда

Следует заметить, что структурная схема (рис. XIII.20, в и ж) и соответствующие формулы используются для расчета систем управления ракетой с дискретным способом определения ее угловых координат. На основании рассмотренных систем в общем случае зависимость выходного сигнала от входного для дискретнонепрерывных во времени может быть записана в виде

где — непрерывные части системы;

— дискретные части системы (некоторые или могут быть равны 0 или 1).

В общем случае зависит от от Так, для структурной схемы (рис. XIII.20, ж) имеем

Выходной сигнал для простейших систем может быть рассчитан аналитически.

Пример 1. Рассмотрим дискретную следящую систему с запоминающим элементом на интервал дискретности (см. рис. XIII.18, а), запишем для нее передаточную функцию в виде

С помощью -преобразования найдем передаточную функцию импульсной следящей системы:

откуда

где

При имеем

В более сложных случаях приводится прибегать к графическим методам построения переходных процессов, в которых используются логарифмические частотные характеристики и метод трапецеидальных характеристик.