6. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Как известно, для нормальной работы замкнутой динамической системы необходимо обеспечить некоторые запасы устойчивости по фазе и амплитуде. Для этого необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости переменного или внутри единичного круга плоскости z. Если исключить особые случаи, то характеристическое уравнение системы получается приравниванием нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы, если последняя представлена как отношение полиномов относительно

Для системы с дискретным сигналом ошибки характеристическое уравнение имеет вид

или

Для дискретных систем можно написать условия устойчивости, аналогичные критерию Рауса-Гурвица. Пусть характеристическое уравнение системы может быть записано в виде

Обозначим

где

Для того чтобы дискретная система управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

и т. д. В раскрытом виде эти условия обозначаются следующим образом:

т. е.

т. е.

т. е. после упрощений получаем

Однако рассмотренный выше алгебраический критерий неудобен в том отношении, что он не позволяет давать рекомендации по коррекции систем. Поэтому, так же как и в непрерывных системах, большой популярностью пользуются частотные критерии устойчивости: критерий Найквиста и главным образом логарифмический частотный критерий.

Критерий Найквиста формулируется аналогичным образом, как и для непрерывных систем, только для построения годографа разомкнутой системы отображается единичная окружность плоскости или отрезок мнимой оси плоскости на плоскость функции

Для астатических систем передаточная функция разомкнутой системы имеет полюс в точке Рассмотрим, какой вид имеет годограф такой системы, т. е.

и вопрос об устойчивости решается следующим образом. Проведем около точки в плоскости полуокружность бесконечного малого радиуса (рис. XIII.21, а). Вблизи точки можно написать

следовательно,

Если изменяется от до то описывает окружность бесконечно большого радиуса. При этом фазовые углы функции находятся в интервале от до (рис. XI 11.21, б). Далее, если замкнутый контур охватывает точку то система неустойчива, и наоборот.

При полюсе порядка бесконечно малая полуокружность в плоскости z переходит в полуокружностей бесконечно большого радиуса в плоскости годографа Число оборотов вокруг точки указывает на порядок неустойчивости системы. Во всех этих рассуждениях предполагалось, что все остальные нули знаменателя лежат внутри единичного круга.

Если в цепи обратной связи стоит фильтр с передаточной функцией то для определения устойчивости необходимо строить годограф функции вместо функции Для построения годографа можно использовать численные методы при заданной аналитически передаточной функции. Однако для сложных систем более предпочтителен графический метод построения годографа, для которого требуется только графическое задание характеристик непрерывной системы.

Рис. XIII.21. Годографы астатических дискретных систем: а — отображаемая кривая в плоскости z; б — годограф астатической системы первого порядка; в — годограф астатической системы третьего порядка

Для построения частотных характеристик разомкнутой системы воспользуемся следующим выражением:

Здесь, как и раньше, для функции не вводится нового обозначения и функция обозначается через

Формула (XII 1.54) определяет частотную характеристику разомкнутой дискретной системы через частотную характеристику ее непрерывной части при различных значениях частоты. Пусть частотная характеристика непрерывной части имеет вид, изображенный на рис. XIII.22,а. Сплошная кривая соответствует а пунктирная

Задаваясь значением интервала дискретности нанесем на частотную характеристику вместо значений значения х, исходя из соотношения При изменении интервала значения х будут меняться (рис. XIII.22). Далее, задаваясь значением отмечаем на частотной характеристике непрерывной части точки

Сумма векторов, проведенных из начала координат к этим точкам, согласно уравнению (XIII.54) определяет значение искомой частотной характеристики при Эти векторы можно складывать не геометрически, а суммировать отдельно для действительных и мнимых частей.

Рис. XIII.22. Частотные характеристики а — без учета второго слагаемого формулы (XIII.54); б — с учетом второго слагаемого

При достаточно больших х модуль частотной характеристики линейной части поэтому в выражении (XIII.54) можно ограничиться, например, двумя слагаемыми, тогда

В этом случае в каждой точке частотной характеристики линейной части системы как из начала, проведем вектор (рис. XIII.22, б). Кривая, соединяющая концы этих векторов, увеличенных в — раз, и определяет