Главная > Теория автоматического регулирования. Книга 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. СИНТЕЗ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ, ПРИЛОЖЕННЫХ КО ВХОДУ СИСТЕМЫ (ЗАДАЧА ВИНЕРА)

Постановка задачи [1], [6]. Рассмотрим частный случай общей задачи синтеза, изложенной в предыдущем параграфе, введя следующие допущения:

1) детерминированная составляющая входного сигнала равна нулю, т. е.

2) возмущающие воздействия отсутствуют, т. е.

3) на время переходного процесса ограничения не накладываются или, как обычно принято говорить, решение ищется в классе систем с «бесконечной памятью», т. е.

Таким образом, постановка задачи синтеза заключается в следующем. На вход системы поступает управляющее воздействие (полезный сигнал) с наложенным на него возмущающим воздействием (помехой), так что входной сигнал имеет вид

Воздействия являются стационарными случайными функциями с известными корреляционными функциями и равными нулю средними значениями (см. рис. VII.9).

Рис. VII.9. Структурная схема постановки задачи Винера

Система должна осуществлять линейное преобразование полезного сигнала на входе в сигнал на выходе согласно формуле

где — заданный преобразующий оператор.

Требуется, пользуясь этими данными, найти импульсную переходную функцию удовлетворяющую условию физической осуществимости и обеспечивающую минимум среднего значения квадрата ошибки

Данная задача синтеза оптимальных динамических характеристик была впервые сформулирована и решена Н. Винером и поэтому носит его имя. Результаты, полученные Н. Винером, легли в основу всех последующих методов синтеза динамических систем при случайных воздействиях.

Физическое содержание задачи синтеза. Если на входе следящей системы, помимо управляющего, есть возмущающее воздействие (или помеха), то ошибка следящей системы состоит из двух составляющих. Одна из них вызывается тем, что следящая система не может абсолютно точно воспроизводить полезный сигнал , а другая — тем, что следящая система не может совершенно не реагировать на помехи Обычно оказывается, что стремление уменьшить первую составляющую ошибки приводит к увеличению второй составляющей, и наоборот.

Таким образом, задача синтеза состоит в том, чтобы обеспечить оптимальное решение вопроса, при котором сумма обеих состав

ляющих имеет минимально возможное значение. Это можно пояснить следующим образом. Предположим, что амплитудная частотная характеристика рассматриваемой системы и спектральные плотности полезного сигнала и помехи графически изображены на рис. VII. 10. Так как помеха имеет ее высокочастотный спектр, чем полезный сигнал, то при сужении полосы пропускания системы [см. кривую последняя почти не будет реагировать на помехи. Однако при этом значительно возрастет ошибка воспроизведения полезного сигнала. Если же увеличить полосу пропускания [см. кривую ], то весьма существенно возрастет влияние помех. Очевидно, что при решении подобных задач необходим некоторый компромисс, обеспечивающий наивыгоднейшие условия работы системы.

Рис. VII.10. Частотные характеристики и спектральные плотности сигналов, показывающие на эффект сужения и расширения полосы пропускания частот

Возможны три способа решения задачи синтеза следящих систем при наличии помех. Первый и наиболее простой из них применим в том случае, когда полезный сигнал имеет гораздо более низкочастотный спектр, чем помехи (рис. VII. 11). В этом случае полоса пропускания системы должна быть выбрана достаточно широкой для обеспечения требуемой точности воспроизведения сигнала и в то же время достаточно узкой для того, чтобы она не реагировала на помехи [см. кривую на рис. VII.11).

Рис. VII.11. Выбор полосы частот в случае высокочастотной помехи

Второй способ выбора актер исти к следящих систем предназначен для случаев, когда управляющее воздействие имеет спектр частот, очень быстро убывающий при возрастании частоты, а спектр помех близок к «белому» шуму (рис. VII. 12).

Согласно этому способу форма амплитудной частотной характеристики разомкнутой системы должна выбираться при низких частотах, где и сконцентрирована основная энергия полезного сигнала, возможно более близкой к форме амплитудной частотной характеристики полезного сигнала, а затем должна быстро убывать, по возможности следуя за убывающей амплитудной характеристикой сигнала.

Таким образом достигается, с одной стороны, равномерное ослабление влияния всего основного спектра частот полезного сигнала на ошибку (так как в интервале частот, содержащем основную энергию сигнала, амплитудный спектр ошибки оказывается приблизительно равным весьма малой постоянной величине и, с другой стороны, уменьшение, насколько это возможно, влияния помех благодаря быстрому убыванию величины Следует, однако, заметить, что быстрота убывания функции ничем не ограничивается лишь при Для значений , при которых слишком быстрое убывание этой величины может привести к уменьшению запаса устойчивости или даже к нарушению устойчивости системы.

Рис. VII.12. Выбор амплитудной частотной характеристики разомкнутой системы при быстроубывающем спектре частот полезного сигнала и помехе в виде белого шума

Наконец, третий способ синтеза, предложенный Винером, применим в общем случае, когда спектры частот полезного сигнала и помехи налагаются друг на друга так, как это изображено на рис. VII. 10, и имеют произвольную форму.

Ввиду того, что последний способ дает наиболее строгий и общий подход к решению задачи сцнтеза не только следящих, но и других преобразующих систем при наличии помех, он и представляет собой предмет дальнейшего изложения.

Формулы для оптимальной импульсной переходной и передаточной функций в случае задачи Винера и ее частные случаи.

Интегральное уравнение (VII.71) при допущениях (VII.85) сводится к виду

где в общем случае

и

Формула (VII.88) получила название интегрального уравнения Винера (или Винера-Хопфа). Решение этого уравнения относительно оптимальной импульсной переходной функции

полученное методом самосопряженных операторов [согласно уравнению (VII.83)] имеет вид

Заметим, что последнее выражение для не содержит -функций лишь в том случае, если порядок знаменателя превышает порядок числителя не более чем на 2.

Часто также применяют приведенную ниже форму решения интегрального уравнения (VI 1.88), полученную Н. Винером при помощи искусственного метода, который здесь не приводится (см. например, [1]).

Предварительно введем в рассмотрение спектральные плотности

и

Если корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует, то формулы (VII.92) сводятся к виду

Кроме того, введем в рассмотрение вспомогательную функцию определив ее при помощи соотношения

и предположив, что она содержит все нули и полюсы функции расположенные в верхней полуплоскости. Функция [комплексно сопряженная функции ] содержит все нули и полюса спектральной плотности расположенные в нижней полуплоскости.

Общая формула для оптимальной передаточной функции при сделанных допущениях и принятых выше обозначениях имеет вид

или

где

b

Таким образом, определение оптимальной передаточной функции по формуле (VII.97) состоит из следующих этапов:

1) определяются вспомогательные функции путем разложения функции на простые множители;

2) подынтегральное выражение в интеграле (VII. 100) разлагается на простые дроби и с помощью вычетов находится функция заметим, что нас интересуют значения лишь при Поэтому при вычислении интеграла (VII. 100) следует принимать во внимание только те простые дроби, которым соответствуют полюса, расположенные в верхней полуплоскости;

3) при помощи формулы (VII.99) вычисляется функция

4) определяется оптимальная передаточная функция по формуле (VI 1.98).

Если спектральные плотности заданы в виде кривых, аналитические выражения которых не известны, то более удобным может оказаться графо-аналитический метод определения оптимальных частотных характеристик, изложенный в [1].

Из рис. VI 1.9 видно, что минимальное значение среднего значения квадрата случайной ошибки для системы, имеющей оптимальную передаточную функцию вида (VI 1.97), определяется формулой

Иногда может оказаться более удобной другая формула для которую можно получить из выражения (VII. 101) следующим образом.

Принимая во внимание выражения (VI 1.96) и (VI 1.98), из формулы (VII. 101) получим

но

и, следовательно,

1
Оглавление
email@scask.ru