Главная > Теория автоматического регулирования. Книга 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. СИНТЕЗ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ, ПРИЛОЖЕННЫХ КО ВХОДУ СИСТЕМЫ (ЗАДАЧА ВИНЕРА)

Постановка задачи [1], [6]. Рассмотрим частный случай общей задачи синтеза, изложенной в предыдущем параграфе, введя следующие допущения:

1) детерминированная составляющая входного сигнала равна нулю, т. е.

2) возмущающие воздействия отсутствуют, т. е.

3) на время переходного процесса ограничения не накладываются или, как обычно принято говорить, решение ищется в классе систем с «бесконечной памятью», т. е.

Таким образом, постановка задачи синтеза заключается в следующем. На вход системы поступает управляющее воздействие (полезный сигнал) с наложенным на него возмущающим воздействием (помехой), так что входной сигнал имеет вид

Воздействия являются стационарными случайными функциями с известными корреляционными функциями и равными нулю средними значениями (см. рис. VII.9).

Рис. VII.9. Структурная схема постановки задачи Винера

Система должна осуществлять линейное преобразование полезного сигнала на входе в сигнал на выходе согласно формуле

где — заданный преобразующий оператор.

Требуется, пользуясь этими данными, найти импульсную переходную функцию удовлетворяющую условию физической осуществимости и обеспечивающую минимум среднего значения квадрата ошибки

Данная задача синтеза оптимальных динамических характеристик была впервые сформулирована и решена Н. Винером и поэтому носит его имя. Результаты, полученные Н. Винером, легли в основу всех последующих методов синтеза динамических систем при случайных воздействиях.

Физическое содержание задачи синтеза. Если на входе следящей системы, помимо управляющего, есть возмущающее воздействие (или помеха), то ошибка следящей системы состоит из двух составляющих. Одна из них вызывается тем, что следящая система не может абсолютно точно воспроизводить полезный сигнал , а другая — тем, что следящая система не может совершенно не реагировать на помехи Обычно оказывается, что стремление уменьшить первую составляющую ошибки приводит к увеличению второй составляющей, и наоборот.

Таким образом, задача синтеза состоит в том, чтобы обеспечить оптимальное решение вопроса, при котором сумма обеих состав

ляющих имеет минимально возможное значение. Это можно пояснить следующим образом. Предположим, что амплитудная частотная характеристика рассматриваемой системы и спектральные плотности полезного сигнала и помехи графически изображены на рис. VII. 10. Так как помеха имеет ее высокочастотный спектр, чем полезный сигнал, то при сужении полосы пропускания системы [см. кривую последняя почти не будет реагировать на помехи. Однако при этом значительно возрастет ошибка воспроизведения полезного сигнала. Если же увеличить полосу пропускания [см. кривую ], то весьма существенно возрастет влияние помех. Очевидно, что при решении подобных задач необходим некоторый компромисс, обеспечивающий наивыгоднейшие условия работы системы.

Рис. VII.10. Частотные характеристики и спектральные плотности сигналов, показывающие на эффект сужения и расширения полосы пропускания частот

Возможны три способа решения задачи синтеза следящих систем при наличии помех. Первый и наиболее простой из них применим в том случае, когда полезный сигнал имеет гораздо более низкочастотный спектр, чем помехи (рис. VII. 11). В этом случае полоса пропускания системы должна быть выбрана достаточно широкой для обеспечения требуемой точности воспроизведения сигнала и в то же время достаточно узкой для того, чтобы она не реагировала на помехи [см. кривую на рис. VII.11).

Рис. VII.11. Выбор полосы частот в случае высокочастотной помехи

Второй способ выбора актер исти к следящих систем предназначен для случаев, когда управляющее воздействие имеет спектр частот, очень быстро убывающий при возрастании частоты, а спектр помех близок к «белому» шуму (рис. VII. 12).

Согласно этому способу форма амплитудной частотной характеристики разомкнутой системы должна выбираться при низких частотах, где и сконцентрирована основная энергия полезного сигнала, возможно более близкой к форме амплитудной частотной характеристики полезного сигнала, а затем должна быстро убывать, по возможности следуя за убывающей амплитудной характеристикой сигнала.

Таким образом достигается, с одной стороны, равномерное ослабление влияния всего основного спектра частот полезного сигнала на ошибку (так как в интервале частот, содержащем основную энергию сигнала, амплитудный спектр ошибки оказывается приблизительно равным весьма малой постоянной величине и, с другой стороны, уменьшение, насколько это возможно, влияния помех благодаря быстрому убыванию величины Следует, однако, заметить, что быстрота убывания функции ничем не ограничивается лишь при Для значений , при которых слишком быстрое убывание этой величины может привести к уменьшению запаса устойчивости или даже к нарушению устойчивости системы.

Рис. VII.12. Выбор амплитудной частотной характеристики разомкнутой системы при быстроубывающем спектре частот полезного сигнала и помехе в виде белого шума

Наконец, третий способ синтеза, предложенный Винером, применим в общем случае, когда спектры частот полезного сигнала и помехи налагаются друг на друга так, как это изображено на рис. VII. 10, и имеют произвольную форму.

Ввиду того, что последний способ дает наиболее строгий и общий подход к решению задачи сцнтеза не только следящих, но и других преобразующих систем при наличии помех, он и представляет собой предмет дальнейшего изложения.

Формулы для оптимальной импульсной переходной и передаточной функций в случае задачи Винера и ее частные случаи.

Интегральное уравнение (VII.71) при допущениях (VII.85) сводится к виду

где в общем случае

и

Формула (VII.88) получила название интегрального уравнения Винера (или Винера-Хопфа). Решение этого уравнения относительно оптимальной импульсной переходной функции

полученное методом самосопряженных операторов [согласно уравнению (VII.83)] имеет вид

Заметим, что последнее выражение для не содержит -функций лишь в том случае, если порядок знаменателя превышает порядок числителя не более чем на 2.

Часто также применяют приведенную ниже форму решения интегрального уравнения (VI 1.88), полученную Н. Винером при помощи искусственного метода, который здесь не приводится (см. например, [1]).

Предварительно введем в рассмотрение спектральные плотности

и

Если корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует, то формулы (VII.92) сводятся к виду

Кроме того, введем в рассмотрение вспомогательную функцию определив ее при помощи соотношения

и предположив, что она содержит все нули и полюсы функции расположенные в верхней полуплоскости. Функция [комплексно сопряженная функции ] содержит все нули и полюса спектральной плотности расположенные в нижней полуплоскости.

Общая формула для оптимальной передаточной функции при сделанных допущениях и принятых выше обозначениях имеет вид

или

где

b

Таким образом, определение оптимальной передаточной функции по формуле (VII.97) состоит из следующих этапов:

1) определяются вспомогательные функции путем разложения функции на простые множители;

2) подынтегральное выражение в интеграле (VII. 100) разлагается на простые дроби и с помощью вычетов находится функция заметим, что нас интересуют значения лишь при Поэтому при вычислении интеграла (VII. 100) следует принимать во внимание только те простые дроби, которым соответствуют полюса, расположенные в верхней полуплоскости;

3) при помощи формулы (VII.99) вычисляется функция

4) определяется оптимальная передаточная функция по формуле (VI 1.98).

Если спектральные плотности заданы в виде кривых, аналитические выражения которых не известны, то более удобным может оказаться графо-аналитический метод определения оптимальных частотных характеристик, изложенный в [1].

Из рис. VI 1.9 видно, что минимальное значение среднего значения квадрата случайной ошибки для системы, имеющей оптимальную передаточную функцию вида (VI 1.97), определяется формулой

Иногда может оказаться более удобной другая формула для которую можно получить из выражения (VII. 101) следующим образом.

Принимая во внимание выражения (VI 1.96) и (VI 1.98), из формулы (VII. 101) получим

но

и, следовательно,

1
Оглавление
email@scask.ru