4. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИХ СИГНАЛОВ

Обычно используют две классификации дискретных систем: по моделям дискретного сигнала и по типу разностного уравнения, которым описывается поведение системы. Как уже указывалось, динамика системы определяется типом модели дискретного сигнала. В соответствии с этим различают дискретные системы первого и второго типов с запоминанием и без него. Имеются также системы с несколькими интервалами замыкания ключа, а также дискретные по амплитуде или по амплитуде и времени системы.

Любая дискретная система описывается разностным уравнением вида

где — входной сигнал системы;

— выходной сигнал системы; если сигналы берутся в дискретные моменты времени

Если коэффициенты и В у уравнения (XIII. 1) не зависят явно от времени, то дискретная система является системой с постоянными параметрами, и наоборот. Система линейная, если не зависят от входного и выходного сигналов или их разностей, а в противном случае система нелинейна. Инженерные расчеты систем автоматического управления основаны на частотном представлении сигналов. Основное отличие дискретной системы от непрерывной состоит в наличии дискретного сигнала на входе некоторых звеньев. Поэтому нас в первую очередь будет интересовать изменение частотных свойств сигнала, прошедшего через ключ, а также связь преобразования Фурье и Лапласа для непрерывного сигнала с дискретным сигналом и импульсной модуляцией первого типа без запоминания.

Рассмотрим математические формы записи дискретного сигнала. Пусть на вход ключа поступает непрерывный сигнал (см. рис. XIII. 9, б), тогда сигнал на выходе ключа может быть представлен в виде

где

Преобразование Лапласа для функции равно

Обычно за преобразование Лапласа для дискретного сигнала с импульсной модуляцией первого типа без запоминания принимают не функцию а

Однако всякий раз, когда требуется рассматривать предельные соотношения при необходимо помнить об этом, так как

Определим зависимость между

Преобразование для функции будет иметь вид

Рис. XIII.15. Расположение полюсов в плоскости комплексного переменного

Применим теорему умножения в плоскости комплексного переменного, т. е.

Прямая интегрирования в этой формуле лежит правее полюсов функции и левее полюсов выражения

Вычислим интеграл (XIII.8) с помощью вычетов подынтегрального выражения. Для этого возьмем контур интегрирования, состоящий из прямой и полуокружности большого радиуса, расположенное справа от этой прямой (рис. XIII. 15). Вычеты подынтегральной функции в полюсах равны

поэтому

Выражение

где

называется z-преобразованием [11]. Иногда рассматривается дискретное преобразование Лапласа [13]

где

и

Очевидно, что

Пользуясь преобразованием Фурье и учитывая формулу (XII 1.9), можно написать

где для обозначения соответствующих функций от условно для краткости применяем то же обозначение, что и для функций, зависящих от т. е. через обозначим функцию . Строго говоря, формулы (XIII.9) и (XIII. 14) справедливы для . В соответствии с формулой (XIII. 14) спектр дискретного сигнала на выходе ключа получается суммированием смещенных спектров непрерывного сигнала на входе ключа (рис. XIII.16). В зависимости от ширины спектра непрерывного сигнала (граничной частоты смещенные спектры могут перекрываться или не перекрываться. Очевидно, что для данной частоты всегда можно подобрать такой интервал дискретности что перекрытие спектров будет отсутствовать:

где

В этом случае с помощью фильтров можно из спектра дискретного сигнала выделить спектр непрерывного сигнала и таким образом восстановить из дискретного во времени сигнала соответствующий непрерывный сигнал. Если условие (XIII. 15) не удовлетворяется, то смещенные спектры перекрываются и по спектру дискретного сигнала невозможно восстановить спектр непрерывного сигнала. Эти положения составляют основное содержание известной теоремы Котельникова о передаче непрерывного сообщения его дискретными выборками. При выполнении условия (XIII. 15) дискретностью сигнала можно пренебречь и рассчитывать систему как непрерывную.

Рис. ХIII.16. Непрерывный и дискретный сигналы и их спектры: а — непрерывный сигнал; б — спектр непрерывного сигнала; в — дискретный сигнал; г — спектр дискретного сигнала

Дискретные системы проявляют свои специфические особенности, которые требуют новых методов расчета только при интервалах дискретности, для которых не удовлетворяется условие (XIII. 15). Граничная частота определяется шириной спектра воздействий на систему, но главным образом полосой фильтров, используемых в замкнутой системе автоматического регулирования. У большинства дискретных систем можно выделить непрерывную часть разомкнутой системы. Так, в случае системы с дискретным сигналом ошибки это — фильтр, следующий за ключом [для структурной схемы рис. XIII. 13 с передаточной функцией Поэтому в качестве граничной частоты с помощью которой определяется дискретный характер системы, может быть выбрана частота среза передаточной функции непрерывной части разомкнутой системы.

Основное отличие дискретной замкнутой системы от соответствующей непрерывной состоит в том, что сигналы ошибки

(коррекции) и обратной связи подаются в дискретные моменты времени, а не непрерывно. В дискретной системе замыкание системы происходит в моменты замыкания ключа, во все остальное время система разомкнута. Поэтому естественно, что интервал дискретности необходимо сравнивать с частотой среза передаточной функции непрерывной части разомкнутой системы.

Попытаемся определить причину смещения спектров сигнала после ключа. Дело в том, что ключ приводит к стробоскопическому эффекту. Поэтому сигнал на выходе ключа не чувствителен к изменению частоты входного сигнала на величину, кратную частоте его замыкания Можно на вход ключа подавать синусоидальныи сигнал частоты или , а сигнал на его выходе будет одинаков. Сигнал на выходе ключа отличен от нуля только в моменты в остальное время он равен нулю. Действительно, допустим, что на вход ключа воздействует синусоидальный сигнал Подадим на вход другой синусоидальныи сигнал, частота которого отличается на тогда получим

т. e. в моменты времени замыкания ключа оба сигнала совпадают. В этом состоит причина появления смещенных спектров, которые определяют дискретную природу системы управления.