8. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Проблема синтеза цепей переменного тока заключается в определении передаточной функции по постоянному току, соответствующей заданной передаточной функции по огибающей для данной цепи. Синтез корректирующих устройств переменного тока основывается на определении нулей и полюсов передаточной функции по огибающей и минимизации квадратурной составляющей

выходного напряжения цепи. Реакция цепи переменного тока на сигнал и как известно [6], имеет вид

где

Функции и — комплексные рациональные функции комплексной переменной Передаточная функция цепи по постоянному току является действительной рациональной функцией от и может быть записана в виде

где — полиномиальные функции от причем корни полинома , являющиеся полюсами функции должны лежать в левой полуплоскости комплексного переменного Следовательно, вещественные полюса лежат на отрицательной оси а комплексные корни появляются сопряженными парами, симметрично расположенными относительно вещественной оси в левой полуплоскости Корни полинома могут располагаться в любой точке плоскости причем комплексные корни появляются, конечно, сопряженными парами, симметрично расположенными относительно вещественной оси. Предполагается, что степень полинома должна быть меньше или равна степени полинома . В выражении (XII.70) имеется также постоянный множитель определяющий усиление цепи по постоянному току, но в целях упрощения записи в настоящем анализе он опущен. При определении составляющих выходного напряжения цепи множитель конечно, должен быть учтен. При введении преобразования полюса и нули функции перемещаются соответственно вниз и вверх в комплексной плоскости Очевидно, что для каждого корня функции имеется соответствующий сопряженный корень функции Определив нули и полюса функции запишем ее в виде

причем

На рис. XII. 10 показаны три случая возможных положений корней. Если корень функции расположен на вещественной оси, т. е. то он появляется как комплексный корень в выражении и сопряженный Пара комплексно-сопряженных корней функции преобразуется в для функции — сос) для функции Наконец, если пара комплексно-сопряженных корней функции имеет вид то она преобразуется в а также в В этом случае функции содержат общий множитель, равный Рассмотрим далее функцию

Рис. ХII.10. Возможные положения корней функций а — комплексно-сопряженные корни вида б — комплексно-сопряженные корни; в — вещественный корень; — корни функции — корни функции

Как видно из уравнения (XII.74), функция содержит все корни функции причем одни из них сдвинуты на вверх, а другие на вниз. Так как комплексные корни появляются сопряженными парами, то функция является вещественной функцией переменной Вещественные части этих корней по условию отрицательны, поэтому все они размещаются в левой полуплоскости комплексного переменного Следовательно, степень полинома равна или меньше,

чем удвоенная степень полинома Она в точности равна удвоенной степени полинома если ни один из комплексных корней полинома не имеет мнимой части, в точности равной Вещественный корень полинома преобразуется в комплексно-сопряженную пару корней. Комплексно-сопряженная пара корней полинома преобразуется в две комплексно-сопряженные пары корней, за исключением особого случая, при котором получается три корня, а именно один вещественный и пара комплексносопряженных корней. Функция есть сумма двух полиномов, коэффициенты которых являются комплексно-сопряженными по отношению друг к другу. Вследствие этого функцию можно назвать также вещественной функцией переменного Однако корни полинома просто не определяются и могут располагаться в любой точке плоскости Степень полинома равна или меньше суммы степеней полиномов М и При определении желаемой передаточной функции по огибающей для следящей системы переменного тока согласно уравнению (XII.71) необходимо найти нули и полюса функции и представить ее в виде отношения произведений двучленов. Однако нули функции можно не определять, если использовать разложение этой функции на простейшие дроби

где -полюса функции

—вычеты при соответствующих полюсах.

Обычно вычеты — это комплексные сопряженные величины, связанные с комплексно-сопряженными полюсами. Вычет соответствует полюсу, расположенному в бесконечности. Если степень полинома больше степени полинома то Вещественная часть вычетов может быть отрицательной. При подстановке вместо имеем

Правила перехода от функции достаточно просты. Вычеты и вещественные части полюсов остаются

неизменными, а мнимые части полюсов увеличиваются и уменьшаются на величину, равную Если полюс веществен, то типовой член в выражении имеет вид

т. e. состоит из пары комплексно-сопряженных полюсов. Если полюс является комплексно-сопряженным, то ему соответствует член

Уравнение (XII.79) показывает, что в выражении для каждому комплексному полюсу сопутствует комплексно-сопряженный полюс причем вычеты при этих полюсах являются также комплексно-сопряженными величинами, получаемыми непосредственно из соответствующих вычетов функции Процесс синтеза, т. е. определения из можно разбить на следующие этапы. Вначале желаемую передаточную функцию по огибающей необходимо представить в виде суммы простейших дробей. Если это необходимо, полученное выражение изменяют математически, чтобы сделать оператор физически реализуемым. Добавочные члены представляют собой обычно высокочастотные полюса, которые не влияют существенно на низкочастотные характеристики следящей системы. В приведенном ниже уравнении введено обозначение вещественной и мнимой частей полюсов и вычетов для того, чтобы подчеркнуть разницу между вещественными и комплексными полюсами. Если является правильной функцией, то она может быть представлена в общей форме

Сравнивая уравнения (XII.76) и (XII.80), по аналогии можно записать функцию в виде разложения на простейшие дроби, а именно

Подставляя в уравнение (XII.81) получим

Рассмотрим выражение передаточной функции системы по квадратурной составляющей. Общие свойства операторов выраженных через их нули и полюса, одни и те же. Однако множитель и отрицательный знак у слагаемого позволяют при разложении на простейшие дроби учитывать мнимые части вычетов. Типовая форма оператора соответствующая уравнению (XII.73), запишется в виде

Постоянный член в уравнении (XII.83) отсутствует, а вычеты, связанные с вещественными полюсами, переходят в мнимые части вычетов в выражении Затем простые дроби группируют на члены, связанные с и члены, связанные с Рассмотрим группу, связанную с Делая подстановку получим искомую передаточную функцию системы. Следует отметить, что постоянная часть выражения в этом случае остается произвольной. Таким образом, в результате анализа устанавливается общая связь между функциями Соотношения между этими функциями при наличии простых, вещественных и комплексных полюсов сведены в табл. XII. 1,

При проектировании корректирующих цепей переменного тока конструктору часто задается условие использовать при построении контуров только сопротивления и конденсаторы. Операторы таких -цепей должны иметь полюса, расположенные

(кликните для просмотра скана)

на линиях в плоскости и слабо влияющие на операции со спектром огибающей. Поэтому необходимо тщательно исследовать положение нулей операторов, так как соответствующим выбором вычетов возможно получить эффективную желаемую часть полной передаточной функции контура. Рассмотрим параллельную Т-образную цепь, часто используемую для получения опережения по огибающей. Передаточная функция по постоянному току такой цепи имеет вид

Числитель уравнения (XII.84) имеет чисто мнимые корни, равные а знаменатель — вещественные корни, если Сопряженные функции будут

откуда

если

Лучшая аппроксимация выражения в области нижних частот примет вид

Уравнение (XI 1.88) показывает наличие запаздывания на низких частотах. Заметим, что размерный множитель, связанный с операцией дифференцирования, обратно пропорционален несущей частоте. Согласно уравнению

при соответствующий масштабный множитель приблизительно равен . Следовательно, при можно получить большое усиление, с помощью рассматриваемой цепи. При выборе относительно малым по сравнению с представляется возможным эффективно подавить квадратурную помеху. Оператор по

квадратурной составляющей для параллельного Т-образного контура

Как следует из уравнения (XII.88), оператор является простейшим апериодическим звеном относительно и характеризует запаздывание, вносимое в передачу данных на низких частотах. Постоянная времени Т, характеризующая это запаздывание, приближенно равна сумме постоянных времени отдельных множителей первой степени, образующих знаменатель, т. е. сумме обратных значений корней знаменателя уравнения (XI 1.87)

Так как корни являются вещественными полюсами функции сдвинутыми то получим

где полюса функции обозначены через Согласно уравнению (XI 1.85) полюса имеют место при

Подставив эти значения полюсов в уравнение (XI 1.91), найдем выражение постоянной времени

Таким образом, когда проектируемая система регулирования с наличием корректирующей RC цепи недостаточно широкополосна, при расчете следует учитывать наряду с членами, определяющими компенсацию по производной, член, характеризующий запаздывание и являющийся простым апериодическим звеном. В том случае, если напряжение неуправляемой обмотки двухфазного электродвигателя сдвинуто по фазе на угол по отношению к фазе правильной настройки, то электродвигатель максимально чувствителен к управляющему напряжению на несущей Оператор, эквивалентный оператору по синфазной составляющей, примет вид

а эффективный оператор по квадратурной составляющей

Свойства функций в общем совпадают с рассмотренными свойствами операторов Так как при

настройке следящей системы устанавливается какой-то допуск на величину угла то в общем случае и при расчете используются операторы выраженные уравнениями (XII.93) и (XI 1.94). Следовательно, если с помощью линейной цепи необходимо реализовать передаточную функцию по огибающей, то она должна быть одной из приведенных в табл. XII. 1. Однако для большинства практических задач функции независимы и в общем несовместимы, т. е. не могут быть реализованы одной и той же цепью. Можно констатировать, что реализуемая система условий как для так и для никогда на практике не встречается. Значит, актуальная проблема синтеза цепей переменного тока может быть решена только приближенным путем. Пусть необходимо синтезировать функцию цепи которая является приближением составляющих передаточных функций по огибающей известных заранее. Реализуемые функции огибающей обозначим соответственно через Функция ошибки аппроксимации определяется уравнением

Рассмотрим задачу синтеза на конкретное примере для звена с простым полюсом

Из табл. XII. 1 следует, что такая функция не реализуется и ее приближение можно получить с помощью реализуемой функции Самое общее приближение приведено в 7-й строке таблицы, откуда

где параметры — неопределенные вещественные коэффициенты.

Соответствующая передаточная функция по квадратурной составляющей

и передаточная функция цепи по постоянному току

После несложных математических преобразований уравнений (XII.97) — (XII.99) получим

Теперь выберем параметры цепи так, чтобы получить минимум функции . В следящих системах переменного тока целесообразно минимизировать функцию при Числитель уравнения (XII. 102) имеет второй порядок, поэтому существует возможность получения двойного нуля в начале координат. При этом функция и ее производная будут равны нулю при равенстве нулю частоты модуляции. Это условие выполняется при

и

Совместное решение уравнений (XII.103) и (XII.104) дает

Как следует из уравнения (XII. 105), синтезируемая цепь должна быть настроенной на несущую частоту. Учитывая выражение (XII. 105), перепишем передаточную функцию (XII. 102) в виде

Так как параметры — вещественные, то уравнение (XII.106) справедливо при Таким образом, функция цепи имеет. комплексно-сопряженные полюса и реализуется с помощью цепей.

Рассмотрим случай т. е. когда — мнимые величины. Заменим поэтому на и В на Функция

теперь аппроксимируется двумя комплексно-сопряженными парами полюсов строку табл. XII. 1), а именно

Полюса функции теперь вещественные и возможна ее реализация при помощи RC цепей. Согласно табл. XII.1 соответствующая передаточная функция по квадратурной составляющей

и передаточная функция по постоянному току

Упрощая уравнения (XII.107) подобно уравнениям (XII.97) — (XII.99) и минимизируя функцию при найдем

откуда

и, следовательно, цепь оказывается настроенной на несущую частоту.

Для рассмотренного случая окончательно получим

Синтез цепи по минимуму квадратурной составляющей определяет выражения функций в общем случае. Для рассмотренного примера полюса передаточных функций сведены в табл. XII.2. Расположение полюсов функций синтезированных по минимуму квадратурной составляющей, приведено на рис. XI 1.11. Полюса функции при расположены на круге радиусом с центром в начале координат, а при — на вещественной оси. Полюса функций при расположены на двух полуокружностях радиуса с центрами в точках а при — на окружности радиусом V с центром в точке — а именно в точках пересечения этой окружности с горизонтальными прямыми линиями При изменении величин и полюса перемещаются вдоль кривой. Из четырех неопределенных коэффициентов определены В и Коэффициенты А и У выберем так, чтобы функция ошибки была минимальной. Подставим выражения согласно уравнениям (XI 1.96) и (X 11.97) в формулу (XI 1.95), получим

Рис. XII.11. Расположение полюсов функций синтезированных минимуму квадратурной составляющей

Минимизация функции при дает

откуда

В результате

Функция и ее первые две производные равны нулю при Используя уравнения (XII. 116) и (XII.117), окончательно получим

Соотношение между уравнениями (XII.96) и (XII. 121) в точности такое же, как при обычном низкочастотном — полосовом преобразовании. Такое соответствие получается и при других видах функции как, например, при комплексносопряженных и кратных полюсах.

Таблица XII.2 (см. скан)

Связь мекду полюсами функций синтезированных по минимуму квадратурной составляющей

Итак, проведенный логический синтез цепей переменного тока показывает, что низкочастотно-полосовое преобразование является лучшим способом конструирования цепей переменного тока.