3. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ДИСКРЕТНУЮ СИСТЕМУ

Рассмотрим общий случай дискретно-непрерывной системы, блок-схема которой приведена на рис. XIII. 19. Как было показано в гл. XIII для дискретно-непрерывных систем, выходная координата связана с входной соотношением

Обозначим через импульсную переходную функцию, соответствующую а через — импульсную переходную функцию фильтра, соответствующую .

Для простоты рассмотрим случай далее положим, что

В этом случае выходной сигнал будет связан с входным следующим отношением:

Аналогично можем написать

Перемножая последние два выражения между собой и усредняя, получим

Далее, полагая для простоты и обозначая

получим

Беря двустороннее -преобразование от обеих частей, будем иметь

или

Если известны аналитические выражения для корреляционной функции входного сигнала и импульсной переходной функции то с помощью формулы (XIV.69) можно вычислить спектральную плотность сигнала При этом передаточная функция может быть задана графически.

Для случая входного сигнала типа „белого" шума эту формулу перепишем в виде

где

Пусть

тогда формулу (XIV.70) перепишем в виде

Если считать, что сигнал на входе отличен от „белого" шума, то можно получить формулу, аналогичную выражению (XIV.72), введя понятие формирующего фильтра с передаточной функцией и импульсной переходной функцией причем

Подставляя выражение (XIV.74) в формулу (XIV.69), получим

откуда

где

импульсная переходная функция последовательно соединенного формирующего фильтра и фильтра с импульсной переходной функцией

Далее аналогично формуле (XIV.72) соотношение (XIV.76) можно записать в виде

где

Для дискретной во времени системы в формулах (XIV.41) — (XIV.78) следует положить . В результате получим

Корреляционные функции входного и выходного сигналов связаны соотношением

Из формулы (XIV.80) следует, что корреляционная функция выходного сигнала зависит только от разности моментов времени приложения входного сигнала Поэтому при фиксированных дискретный выходной сигнал стационарен, а его корреляционная функция определяется по формуле (XIV.80). Физически такой дискретный сигнал можно представить себе следующим образом.

На выходе системы стоят два ключа, один из которых выдает сигналы в моменты времени другой — в моменты времени (рис. XIV. 15, а). Функция взаимной корреляции этих процессов задается формулой (XIV.80). Если то на выходе ставят один условный ключ, который замыкается в моменты времени (рис. XIV. 15, б). В этом случае формулу (XIV.80) можно переписать в виде

которая представляет собой выражение для автокорреляционной функции дискретного процесса на выходе ключа К (рис. XIV. 15, б).

Как видно из формулы (XIV.81), такой дискретный сигнал стационарен для фиксированного . Однако, если выходной сигнал рассматривать как непрерывный ( — не фиксировано), то в целом он будет нестационарным, так как его корреляционная функция — математическое ожидание произведения значений выходного сигнала, взятых в моменты времени будет зависеть не только от разности Это является следствием того факта, что дискретная система относится к системе с периодически меняющимися параметрами.

Рис. XIV. 15. Прохождение случайного сигнала через дискретную систему для случаев:

Если мы интересуемся выходным сигналом только в дискретные моменты времени то при получении выражения для его корреляционной функции следует положить в формуле (XIV.81)

В результате получим

Для определения связи спектральных плотностей выходного и входного сигналов необходимо умножить обе части равенства (XIV.80) на и просуммировать от до [т. е. взять двустороннее -преобразование от обеих частей равенства (XIV.80)].

В результате получим

где — спектральная плотность случайного входного сигнала;

Полагая получим

где условно обозначено

При анализе и синтезе дискретно-непрерывных во времени систем иногда удобнее использовать выражения для спектральной плотности выходного сигнала, зависящие от переменной . Следует заметить, что получить строго выражения для спектральной плотности выходного случайного сигнала дискретной во времени системы в зависимости от в общем случае не представляется возможным, так как такая система является системой с переменными параметрами. Однако для некоторых частных случаев ее все же получить можно. Так, если в формуле (XIV.83) положить то

Умножая обе части приведенного равенства на и интегрируя по от 0 до 1, с помощью формулы (16) приложения III получим

Нетрудно убедиться, что в данном случае сравниваются значения выходного сигнала в моменты со значениями этого же сигнала в моменты т. е. ключ (рис. XIV. 15, а) замыкается в моменты , а ключ в моменты

Далее, если в формуле (XIV.83) положить и проделать аналогичные преобразования, то получим

В этом случае сравниваются значения выходного сигнала в моменты Из сравнения формул

(XIV.85) и (XIV.86) видно, что непрерывные случайные процессы имеют разные спектральные плотности, так как дискретная система ведет себя, как система с переменными параметрами.

Если в формулах (XIV.85) и (XIV.86) принять, что

или приближенно

и подставить эти соотношения в выражения (XIV.85), (XIV.86), то они совпадут с формулой, полученной в работе [11].

Если положить то получим еще две спектральные плотности непрерывных процессов, которые отличны от формул (XIV.85) и (XIV.86):

и