2. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ К ВЫЧИСЛЕНИЮ МАКСИМАЛЬНОГО ОТКЛОНЕНИЯ СИСТЕМЫ

Рассмотрим действие возмущающей силы на систему автоматического регулирования, находящуюся в начальный момент в покое. Преобразование Лапласа для регулируемой величины может быть записано следующим образом:

где — полиномы степени от

Рассматриваемая система в дальнейшем полагается устойчивой. Если на систему воздействует сила отличная от единичной, то процесс, возникающий в ней, может быть найден при помощи интеграла Дюамеля, если известна переходная функция системы Для этого запишем интеграл Дюамеля по следующей форме:

Так как мы рассматриваем случай нулевых начальных условий, то и

Максимум этого интеграла достигается, если абсолютное значение функции сохраняет свое максимальное значение а ее знак меняется при перемене знака Это возможно лишь тогда, когда функция сохраняет один и тот же знак в интервалах времени, где функция знакопостоянна.

Так как представляет скорость переходного процесса, то функция вообще знакопеременная, колебательная. Интервалы знакопостоянства функции определяются через являющиеся корнями уравнения

Если от фиксированного времени перейти к большему времени то максимум интеграла (IV.7) больше для чем для Это следует из того, что в указанных условиях интеграл в пределах от нуля до равен сумме значений интегралов в пределах от нуля до и от до причем каждый из них положителен.

Заставляя стремиться к бесконечности, получаем при выбранной функции максимум максиморум выражения в виде

Рассмотрим функцию модуль которой равен единице, а ее знаки чередуются согласно закону Интервалы времени, в которых знаки функции постоянны, пусть будут

В этом случае выражение (IV.8) можно написать в следующем виде:

или

Так как — моменты времени, в которых знак меняется, и следовательно, производная равна нулю, то сами значения , заключенные в скобки, равны экстремумам колебаний, возникающим в системе при возмущении единичной силой.

Таким образом, максимальное отклонение системы полностью определяется экстремумами колебания системы при внезапном приложении единичного воздействия, а именно: максимальное отклонение системы под действием силы равно знакопеременной сумме экстремумов переходного процесса, соответствующего единичному воздействию.

Назовем коэффициентом накопления отклонений в системе. При любом модуле наибольшее отклонение системы пропорционально значению модуля I.

В этом случае