3. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ, ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ И СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ, СОДЕРЖАЩИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Частотные методы анализа и синтеза систем с сосредоточенными параметрами, изложенные в предыдущих главах, применимы без сколько-нибудь существенных усложнений и к системам автоматического регулирования, содержащим динамические элементы с распределенными параметрами [3], [4]. Эти усложнения сводятся лишь к тому, что после определения аналитических выражений для частотных характеристик по заданной передаточной функции

1) логарифмические частотные характеристики динамических элементов с распределенными параметрами в общем случае (не считая простейших распределенных звеньев с обычным и с распределенным запаздыванием) приходится определять путем вычислений, задаваясь различными значениями со, в отличие от динамических элементов с сосредоточенными параметрами, для которых справедлив метод асимптотических логарифмических характеристик;

2) для анализа и синтеза систем с распределенными параметрами необходимо рассматривать одновременно как амплитудную, так и фазовую частотные характеристики в отличие от минимально-фазовых систем с сосредоточенными параметрами, когда достаточно располагать одной амплитудной характеристикой.

В остальном же частотные методы остаются полностью применимыми, и поэтому можно ограничиться следующими краткими замечаниями.

Анализ переходного процесса в системе автоматического регулирования, содержащей распределенные параметры, как и в системе, имеющей только сосредоточенные параметры, следует производить лишь после того, как установлена устойчивость системы в замкнутом состоянии.

Итак, предположим, что анализ устойчивости системы, в которой включены распределенные параметры, выполнен методом, изложенным в § 2 настоящей главы. Определим переходный процесс вызываемый воздействием, заданным функцией времени имеем

где — передаточная функция системы с распределенными параметрами, которая является аналитической функцией от во всей правой полуплоскости, включая мнимую ось (поскольку система устойчива), а функция не имеет особенностей в

правой полуплоскости и на мнимой оси, за исключением, может быть, ограниченного числа полюсов.

Выделяя из функции регулярную часть так, как это было изложено в гл. XV кн. 1, и вводя обобщенные частотные характеристики получим

или

Очевидно, что формулы, полученные в гл. XV кн. 1 для различных частных случаев, остаются справедливыми и для систем, содержащих распределенные параметры. Так, например, переходный процесс, вызываемый единичным ступенчатым воздействием, определяется формулами вида

или

Графики функций могут быть определены по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы при помощи обычных вещественной и мнимой номограмм замыкания (см. гл. XV кн. 1).

После того как найден график функции переходный процесс в системе, содержащей распределенные параметры, может быть определен при помощи обычного метода трапецеидальных частотных характеристик с использованием таблиц -функций. Следовательно, наличие в системе распределенных параметров при применении частотного метода нисколько не усложняет процедуру анализа переходных процессов.

Анализ ошибок в системах автоматического регулирования, содержащих одномерные динамические элементы с распределенными параметрами, при стационарных случайных воздействиях,

очевидно, можно производить при помощи формул (см. гл. 1 настоящей книги):

Заметим, что аналитический метод вычисления изложенный в гл. I настоящей книги, в данном случае не применим, так как функции являются трансцендентными, а не дробно-рациональными функциями от со. Но частотный метод определения случайных ошибок остается в силе и требует лишь построения графиков этих функций по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы при помощи обычных номограмм замыкания.

Как известно (см. гл. XIII кн. 1), наиболее простой метод вычисления коэффициентов ошибок для систем с сосредоточенными параметрами состоит в непосредственном делении числителя на знаменатель передаточной функции Однако в случае систем с распределенными параметрами этим методом пользоваться нельзя. Вместо него можно применить формулу

или разлагать функцию в ряд по возрастающим степеням

Приближенное вычисление коэффициентов ошибки систем с распределенными параметрами иногда целесообразно производить следующим образом. Логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы с распределенными параметрами предварительно приводится в соответствие дробно-рациональная передаточная функция например, способом, изложенным в гл. VIII кн. 1, а затем используются обычные методы определения коэффициентов ошибки, разработанные для систем с сосредоточенными параметрами. Точность вычислений, очевидно, зависит от точности аппроксимации, которая должна быть особенно хорошей при низких частотах.

Сделаем теперь несколько замечаний относительно синтеза систем с распределенными параметрами. Общая методика синтеза, очевидно, остается той же, что и в случае систем с сосредоточенными параметрами. Синтез оптимальной передаточной функции замкнутой системы производится в зависимости от постановки

задачи при помощи методов, изложенных в гл. VII настоящей книги. Следует напомнить, что оптимальные передаточные функции обычно представляют собой трансцендентные функции от , следовательно, их точная реализация в принципе возможна лишь при помощи систем с распределенными параметрами. Однако для упрощения мы по-прежнему будем считать, что синтез сводится к синтезу корректирующих устройств, описываемых дробнорациональными передаточными функциями. Следующий шаг, состоящий в определении оптимальных логарифмйческих частотных характеристик разомкнутой системы, может быть выполнен либо аналитически (см. гл. VII настоящей книги), либо графически при помощи номограмм замыкания совершенно так же, как и в случае систем с сосредоточенными параметрами.

Однако при переходе от оптимальных характеристик к желаемым в процессе синтеза систем с распределенными параметрами нельзя ограничиваться рассмотрением лишь амплитудной желаемой частотной характеристики разомкнутой системы, как это часто возможно в случае систем, не содержащих распределенных параметров, а необходимо вводить в рассмотрение дополнительно желаемую фазовую частотную характеристику.

Последующие этапы синтеза выполняются таким образом, чтобы обеспечить требуемую точность реализации одновременно как амплитудной, так и фазовой желаемых частотных характеристик. При этом для получения аналитических выражений, определяющих передаточные функции корректирующих устройств в виде дробно-рациональных функций от можно воспользоваться методом аппроксимации, изложенным в гл. VIII настоящей книги.

Перейдем теперь к более подробному рассмотрению нескольких частных примеров систем с распределенными параметрами.