10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Среднее значение квадрата ошибки определяемое формулой (1.140), может быть вычислено обычными методами графического интегрирования, если известны графики кривых спектральной плотности а также амплитудные частотные характеристики, соответствующие передаточным функциям Известен также и аналитический метод вычисления величины основанный на предположении, что как спектральные плотности, так и передаточные функции, входящие в формулу (1.135), представляют собой дробно-рациональные функции от со.

Учитывая сделанное выше ограничивающее допущение, мы предположим, что функция представляет собой дробно-рациональную функцию от со. Интегралы, входящие в выражение (1.140), всегда можно вычислить, определив корни знаменателя функции и разложив ее на простейшие дроби. Однако практически в случае сколько-нибудь сложных систем этот метод неудобен, так как, во-первых, он не позволяет получить в явном виде связи между параметрами, входящими в выражение для и величиной а во-вторых, потому, что он связан с трудоемким процессом вычисления корней многочлена, который может иметь высокий порядок. Поэтому ниже приведен метод вычисления величины позволяющий выразить ее непосредственно через коэффициенты выражения без необходимости вычисления корней его знаменателя. Для того чтобы понять сущность этого метода, покажем прежде всего, что выражение для спектральной плотности можно представить в виде

абсолютного значения квадрата рациональной функции, имеющей полюсы, расположенные симметрично относительно мнимой оси в верхней полуплоскости.

Рассмотрим первый член в правой части выражения (1.136),

Так как мы предполагаем, что система устойчива, то все полюсы передаточной функции расположены в левой полуплоскости. Это означает, что все полюсы функции [т. е. значения переменной , при которых знаменатель обращается в нуль] расположены в верхней полуплоскости.

Далее отметим, что полюсы расположены симметрично относительно мнимой оси, так как это выражение представляет собой четную функцию от со. Перейдем теперь к спектральной плотности Так как согласно нашему предположению функция представляет собой дробно-рациональную функцию, то она может быть всегда представлена в виде произведения двух сомножителей один из которых, скажем имеет нули и полюсы, совпадающие с нулями и полюсами расположенными в верхней полуплоскости, а другой, имеет нули и полюсы, совпадающие с нулями и полюсами расположенными в нижней полуплоскости:

Поскольку функция спектральной плотности вещественна при вещественных со, то ее нули и полюсы должны быть симметрично расположены относительно вещественной оси. Далее, если функция спектральной плотности является четной функцией от , то ее нули и полюсы должны быть симметрично расположены также и относительно мнимой оси. Поэтому мы можем написать

и, следовательно,

Итак,

причем все полюсы выражения расположены в верхней полуплоскости симметрично относительно мнимой оси.

Представим функцию в виде произведения двух сомножителей

тогда получим

Если считать все нули и полюсы первого из них расположены в верхней, а второго — в нижней полуплоскости, то можно записать:

и

Все полюсы выражения (1.142) расположены в верхней полуплоскости симметрично относительно мнимой оси. Далее покажем, что оставшиеся два члена в выражении (1.135)

также могут быть приведены к требуемому виду. При этом нули и полюсы функции расположены симметрично относительно мнимой оси, так как она представляет собой преобразование Фурье для вещественной функции Пусть

где содержат все нули и полюсы функции расположенные соответственно в верхней и нижней полуплоскостях.

Точно так же мы можем написать

где содержат соответственно все нули и полюсы функции расположенные в верхней и нижней полуплоскостях. Далее воспользуемся соотношением

Полагая в выражении запишем

но

и, следовательно,

Из последнего выражения вытекает, что нули и полюсы функции являются комплексно-сопряженными нулями и полюсами функции и что

Поэтому для вещественных значений

Итак,

Так как полюсы выражений расположены в верхней полуплоскости симметрично относительно мнимой оси, то это утверждение справедливо также и в отношении полюсов всего выражения (1.146).

Таким образом,

Итак, полюсы всех членов в выражении (1.147) расположены в верхней полуплоскости симметрично относительно мнимой оси.