5. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД МОМЕНТОВ

Предполагая, что принимаются меры для исключения из реакции системы составляющей свободного движения, интегральное уравнение (III. 16) можно точно решить на основе теоремы свертывания, если известны изображения входного и выходного сигналов:

где — передаточная функция.

Интегральное уравнение свелось к простой, алгебраической форме. Однако для решения (II 1.28) необходимо найти изображения произвольных действующих сигналов а затем по вычисленной из выражения (III.28) функции найти

Рассмотрим преобразование Лапласа:

Существует большое количество методов приближенного решения интегрального уравнения (III.29) относительно отличающихся сложностью вычислений, величиной ошибки и характером ограничений. Для целей определения динамических характеристик с привлечением средств вычислительной техники удобным является ортогональный метод моментов.

Привлечение понятий классической проблемы моментов позволяет осуществлять интерполяцию и экстраполяцию полиномами наилучшего приближения функции с помощью функционала (III. 13); причем наиболее простые вычислительные схемы получаются, если

рассматривать изображение Лапласа как моментную функцию для оригинала [2], [4], [14]. Тогда решение интегрального уравнения (И 1.29) относительно подынтегральной переменной, т. е. „восстановление“ оригинала [например, импульсной переходной функции сводится к нахождению значений изображения [передаточной функции в вещественных точках. этом случае интегральное уравнение принимает вид

где — функция веса, которая, например, имеет вид с — постоянная величина.

Это интегральное уравнение хорошо согласуется с формулами обращения Римана-Меллина и обеспечивает аналитичность функции в области , т. е.

Ядро преобразования Лапласа представляет собой полную систему функций

в той же области Полагая в выражении (II 1.30) получим моменты функции с весом относительно системы (II 1.31) в виде

Следовательно, решение задачи сводится к отысканию по заданным моментам многочлена степени относительно показательной функции

такого вида, чтобы

Система (III.34) линейна относительно искомых коэффициентов Она имеет решение и притом единственное. Это решение удовлетворяет критерию минимума взвешенного квадрата ошибки (III. 13). Минимум является абсолютным, если многочлен коэффициенты которого определены из выражения (III.34), построен на основе ортогональной системы.

По определению многочлен можно представить в виде интегроинтерполяционного многочлена в моментах

где — многочлены степени такие, что

Но, если имеется соответствующая классическая ортогональная система с весом или система, полученная из выражения (111.31) методами ортогонализации, то многочлен можно представить в виде

где — коэффициенты Фурье.

Следовательно, задача сводится к вычислению коэффициентов Для этого необходимо выбрать или синтезировать ортогональную систему и найти связь между Разложим в ряд Фурье функцию Имеем

где

Последнее выражение имеет место для любого с На основе обобщенного равенства Парсеваля получим

Можно показать, что вычисление коэффициентов в форме ряда (II 1.39) обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость в плоскости

Аппроксимирующий многочлен в этом случае может быть представлен в виде

причем система также принадлежит интервалу

Ортогон а лизируя исходную систему (II 1.31) методом Грамма-Шмидта, получим систему функций

ортогональных с весом на интервале Коэффициенты разложения определяются из выражения

Это выражение можно переписать так:

или

т. e. коэффициенты связаны с моментами выражениями

причем моменты вычисляются по изображению Лапласа при Необходимо иметь в виду, что на основании теоремы смещения аргумент в изображении изменится на где с — масштабный коэффициент веса

Система с системой связана рекурентными соотношениями

где — коэффициенты многочлена

В приведенной выше вычислительной схеме можно использовать классические ортогональные системы полиномов Якоби, Лежандра, Эрмита и особенно Лягерра.

Вычисление изображения Лапласа основано на том, что умножение известной функции на соответствует дифференцированию изображения с изменением знака, т. е.

Вычисляя взвешенные моменты функции

ввиду аналитичности изображения Лапласа, получим при функции веса необходимое число производных изображения в точке

Возвратимся к уравнению (III .28). Используя, например, полиномы Лягерра, получим следующую систему равенств:

откуда моменты импульсной переходной функции

где

— моменты входного и выходного сигналов.

Ортогональная спектральная характеристика как совокупность коэффициентов по аналогии с (III.42) для случая полиномов Лягерра вычисляется в виде

Структурная схема устройства для определения импульсной переходной функции по сигналам входа и выхода приведена на рис. III.8. Анализаторы моментов вычисляют моменты входного и выходного сигналов на интервале , соизмеримом с длительностью переходного процесса в системе, по формулам (III.49). Далее используются формулы (III.48) и (III.49).

Импульсная переходная характеристика получена в удобной аналитической форме. На рис. III.9 для иллюстрации приведен пример определения объекта второго порядка, имеющего передаточную функцию Постоянная времени Числовые значения моментов и коэффициентов Лягерра приведены в табл. III.1.

Рис. III.8. Структурная схема устройства для определения импульсной переходной функции по сигналам входа и выхода

Рис. III.9. Импульсная переходная функция, определенная ортогональным методом моментов

Таблица III.1 (см. скан)

Для систем порядка при 5—10 коэффициентах разложения ошибка практически не превышает

Если необходимо определить динамические характеристики в виде дробно-рациональной передаточной функции

то моменты и коэффициенты связаны между собой соотношением

что при семи членах ряда выглядит так:

Аналогично связаны

Структурная схема устройства для определения коэффициентов дробно-рационального выражения изображена на рис. III. 10.

Система работает по следующему алгоритму:

а) входной и выходной сигналы умножаются на функцию веса

б) определяются моменты этих сигналов по формулам

в) по формуле (II 1.52) находятся коэффициенты передаточной функции. В схеме устройства необходимо предусмотреть специальный блок, учитывающий свободное движение системы.

Рис. III.10. Структурная схема устройства для определения передаточной функции

Последний метод менее точен, так как в основе его лежит по существу разложение в ряд Тейлора. Но когда определение динамических характеристик не представляет в полном смысле «проблемы черного ящика» и вид дробно-рациональной передаточной функции известен, точность существенно повышается применением априорного метода моментов.

Рассмотрим теперь случай, когда известен вид передаточной функции системы в виде

коэффициенты которой необходимо определить. Используя выражение (II 1.46), найдем

тогда для различных значений с получим следующую систему алгебраических уравнений:

Выбрав число получим линейных неоднородных алгебраических уравнений, решение которых даст численные значения коэффициентов передаточной функции. Числа выбираются таким образом, чтобы заведомо выполнялось условие при

Обозначая неизвестные через и коэффициенты при них через получим следующую систему алгебраических уравнений:

где

Число значений для одних и тех же записей сигнала на входе и выходе объекта можно взять значительно большим, чем это требуется для получения необходимого числа алгебраических уравнений, т. е. где Это свойство данного метода можно использовать для того, чтобы решить систему уравнений (III.55) методом наименьших квадратов, что приводит к уменьшению влияния различного рода ошибок на точность решения.

Известно, что на точность приближения наиболее существенное влияние оказывают составляющие импульсной переходной функции системы автоматического регулирования вида

где

Найдем выражение для общего коэффициента разложения функции по ортогональным функциям Лягерра:

Тогда справедливо равенство

Взяв преобразование Лапласа от обеих частей этой зависимости, получим

где

Заметим, что сходимость ряда определяется знаменателем геометрической прогрессии и может быть улучшена, если член будет иметь минимум:

Минимизируя величину получим выражение для оптимального значения масштабного коэффициента веса

Эту же формулу можно получить, если минимизировать функционал вида

Когда система имеет большое число пар комплексно-сопряженных и простых полюсов, выбор оптимального значения масштабного коэффициента веса производится следующим образом [14]. Для любой точки окружности, лежащей в левой полуплоскости комплексного аргумента, справедливо следующее равенство:

где С — координата центра окружности;

— радиус окружности;

у — расстояние от начала координат до точки касания прямой, проведенной из начала координат, с окружностью.

Для всех точек окружности справедливо равенство

Из этой формулы видно, что величина для всех точек окружности имеет одно и то же значение. Таким образом, для системы регулирования, полюса которой (действительные и комплексно-сопряженные) расположены на окружности, величина оптимального значения масштабного множителя остается постоянной; причем для всех точек, лежащих внутри окружности, а для точек, лежащих вне окружности,

Сформулируем правила нахождения значения масштабного коэффициента веса для случая, когда система автоматического регулирования имеет большое количество пар комплексно-сопряженных и простых полюсов. Для этого необходимо:

а) вычертить окружность, полностью расположенную в левой полуплоскости и проходящую через два крайних полюса таким образом, чтобы все остальные полюса находились внутри окружности;

б) из начала координат провести касательную к вычерченной окружности. Длина этой касательной и равняется величине масштабного коэффициента функции веса.