4. СИНТЕЗ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ И СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)

Ниже рассматривается общая постановка задачи синтеза оптимальных динамических характеристик, из которой как частные случаи вытекают почти все рассматриваемые далее задачи синтеза, обычно встречаемые в инженерной практике. Итак, рассмотрим систему автоматического регулирования, имеющую к точек приложения воздействий. На основной вход поступает управляющий сигнал [1], [3], [4]

где — заданная функция времени, причем

— стационарная случайная функция.

На управляющий сигнал накладывается помеха являющаяся стационарной случайной функцией времени.

Рис. VII.6. Структурная схема для постановки общей задачи синтеза

Кроме того, действуют случайных возмущений приложенных к различным точкам системы (рис. VII.6).

Для простоты предполагается, что все случайные воздействия имеют нулевые средние значения и не коррелированы между собой. Предполагается также, что передаточные функции известны. Неизвестной является передаточная функция (или импульсная переходная функция) корректирующего устройства. Сначала определяется оптимальная импульсная переходная функция замкнутой системы, по которой, пользуясь известными методами [1], [3], можно определить передаточную функцию корректирующего устройства

Задача может быть сформулирована следующим образом: по заданным корреляционным функциям [или спектральным плотностям времени переходного процесса , оператору преобразования управляющему воздействию, коэффициентам ошибки и передаточным функциям

необходимо найти импульсную переходную функцию так, чтобы среднеквадратическое значение ошибки преобразования полезного сигнала имело минимум.

Ошибку преобразования полезного сигнала определим путем сравнения выходного сигнала искомой системы с выходным сигналом некоторой идеальной системы. Динамическая точность системы характеризуется систематической и случайной составляющими ошибки. В силу линейности системы допустимо систематическую и случайную ошибки вычислять отдельно. Систематическая ошибка будет определяться далее с помощью задания коэффициентов ошибки. Время переходного процесса искомой системы ограничим величиной

Приводимые ниже результаты позволяют решать не только задачу, в которой время переходного процесса является заданным, а минимальное совместимое с ним среднеквадратическое значение ошибки — искомой величиной, но и задачу, ей обратную.

Запишем выходной сигнал идеальной системы в следующей форме:

или

где — импульсная переходная функция идеальной системы, связанная с соотношением

Представим функцию в виде ряда

В выражении (VII. 51а) оператор отличается от идеального наличием составляющих, содержащих коэффициенты ошибки , допускающих воспроизведение производных от функции более высокого порядка, чем содержащегося в операторе с некоторой динамической ошибкой

Следовательно, ошибку можно представить как разность выходных сигналов идеальной и искомой систем (рис. VII.7).

Для расчета оптимальных динамических характеристих системы можно пользоваться схемой, показанной на рис. VII.7. Однако

более целесообразно свести исследуемую систему к эквивалентной схеме, в которой все воздействия приложены в одной точке.

Определение эквивалентных управляющего и возмущающего воздействий. Покажем, что все воздействия, приложенные к системе, можно свести к эквивалентным управляющему и возмущающему воздействиям, приложенным к ее входу.

Рис. VII.7. Структурная схема сравнения выходного сигнала искомой и идеальной системы

С помощью схемы, показанной на рис. VI 1.7, запишем преобразование Лапласа для ошибки воспроизведения в следующем виде:

где

через обозначено преобразование Лапласа эквивалентного управляющего воздействия преобразование Лапласа эквивалентного возмущающего воздействия

Преобразования Лапласа для функций имеют вид

где М и N — преобразования Лапласа, соответственно, для функций

На основании формул (VII.57) и (VII.58) составлена эквивалентная схема, показанная на рис. VII.8, которая используется для решения поставленной задачи.

Ошибка преобразования полезного сигнала для схемы (рис. VII.8) определяется следующей формулой:

где — импульсные переходные функции, которые соответствуют следующим передаточным функциям:

Рис. VII.8. Эквивалентная схема системы

Потребуем теперь от искомой системы выполнения преобразования детерминированной составляющей в соответствии с оператором т. е. чтобы

Учитывая формулы (VII.53), (VII.54) и принимая во внимание, что

получим

где

Рассматривая выражение (VI 1.62) как тождество, получим ограничивающих условий, которым должна удовлетворять импульсная переходная функция

При выполнении этих условий ошибка определяемая формулой (VI 1.59), запишется в виде

Возводя выражение (VII.66) в квадрат и усредняя функцию в получим

где введены обозначения

Интегральное уравнение относительно импульсной переходной функции, обеспечивающей минимум Найдем импульсную переходную функцию обращающую в минимум среднеквадратическую ошибку (VI 1.67) и одновременно удовлетворяющую

ограничивающим условиям (VI 1.64) и (VI 1.65), а также условиям (VI 1.63). Для этого необходимо составить функционал

где — неопределенные множители Лагранжа.

Придадим импульсной переходной функции в последней зависимости вариацию в результате чего с учетом выражений (VI 1.63), (VI 1.67), получим

Дифференцируя выражение (VIII.70) по и полагая затем найдем интегральное уравнение относительно

Можно показать что интегральное уравнение (VII.71), которому должна удовлетворять импульсная переходная функция представляет собой необходимые и достаточные условия для минимума среднеквадратической ошибки.

Очевидно, что интегральное уравнение (VI 1.71) при помощи обозначений

сводится к виду

Решение интегрального уравнения. Рассмотрим решение интегрального уравнения вида (VII.74) для класса стационарных случайных процессов, корреляционная функция которых

известным образом связана с функцией Грина самосопряженной дифференциальной системы. К этому классу, в частности, принадлежат стационарные случайные процессы с дробнорациональной спектральной плотностью вида

Корреляционная функция стационарного случайного процесса, имеющего спектральную плотность (VII.75), связана с функцией Грина следующим соотношением:

где функция Грина, которая является решением уравнения

Операторы определяются из выражения (VII.75) для спектральной плотности путем формальной замены на Учитывая выражение (VI 1.76), интегральное уравнение (VII.74) можно записать

или

где

Таким образом, вместо интегрального уравнения (VI 1.74) мы получили неоднородное дифференциальное уравнение порядка

с постоянными коэффициентами. Общее решение дифференциального уравнения (VI 1.74) имеет вид

где — корни характеристического уравнения

Применяя к правой и левой частям выражения (VII.81) оператор и учитывая уравнение (VII.77), получим

Дельта-функции возникают благодаря действию оператора на разрывную функцию

причем , что следует из свойств корреляционной функции. В этом можно убедиться, если подставить импульсную переходную функцию в интегральное уравнение (VII.74). В формуле (VII.83) коэффициенты неизвестны. Их можно найти следующим образом. Подставляя выражение (VI 1.83) для импульсной переходной функции в интегральное уравнение (VII.74) и требуя, чтобы оно удовлетворялось, получим 21 линейных однородных уравнений.

Введем выражение (VI 1.83) в ограничивающие условия (VI 1.64) и (VII.65), тогда получим линейных уравнений. Решение алгебраических уравнений относительно и подстановка полученных результатов в выражение (VI 1.83) являются завершающим этапом рассматриваемой задачи.