3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ В РАЗОМКНУТОМ И ЗАМКНУТОМ СОСТОЯНИИ

Согласно (XII. 18) передаточная функция разомкнутой следящей системы в рабочем диапазоне частот определяется из уравнения

откуда

После подстановки в уравнение (XII.20) значений и упрощений для следящей системы, приведенной на рис. XI 1.2, получим

Из уравнения (XI 1.21) следует

Согласно уравнению (XI 1.22) в диапазоне рабочих частот следящая система с достаточной степенью точности описывается передаточной функцией по постоянному току, определяемой уравнением . В диапазоне частот как следует из уравнения (XII.21), передаточная функция с достаточной для практики степенью точности имеет вид

Далее рассмотрим прохождение через систему высокочастотных входных воздействий, в качестве которых могут быть помехи, наведенные за счет других источников питания или поступающие извне вместе с полезным сигналом. Для рассматриваемой системы особенно вредными являются помехи в полосе частот где — частота среза следящей системы. Такие помехи приводят к возникновению на выходе следящей системы низкочастотных колебаний (так называемых периодических режимов). При других частотах периодических режимов не возникает. Для доказательства подобного утверждения составим для прямого тракта усиления следящей системы (см. рис. XI 1.2) эквивалентную схему с учетом высокочастотных составляющих входного действия (рис. XI 1.6), обозначив через номер гармоники воздействия.

Пусть тогда напряжение на выходе модулятора (см. рис. XII.6) будет

Напряжение на выходе первого канала

Согласно схеме (рис. XII.6) напряжение на выходе второго канала

Отсюда управляющее напряжение электродвигателя постоянного тока

Последний член в уравнении (XII.24) определяет низкочастотное колебание на выходе следящей системы.

Рис. XII.6. Эквивалентная схема разомкнутой следящей системы, приведенной на рис. XII.2

Производя аналогичные выкладки для частот легко убедиться в отсутствии периодических режимов. Так, при на выходе следящей системы возникает составляющая которая, будучи

существенно ослаблена звеном с передаточной функцией попадает через цепь отрицательной обратной связи на вход модулятора и затем уже на выходе появляется составляющая но с незначительной амплитудой. Если в выражении для суммарной ошибки заменить на то функция передачи по ошибке определяет единственно возможный периодический режим. В этом случае передаточная функция разомкнутой системы в диапазоне частот определяется из уравнения

откуда

Заменив на в выражениях и подставив их в уравнение (XII.25), после упрощений получим

Из уравнения (XII.26) следует

а в диапазоне частот с приемлемой практически точностью

Высокочастотная составляющая ошибки слежения, определяемая выражением

оказывает малое влияние на систему из-за фильтрующего действия, а также ограничения мощности и вращающего момента исполнительного электродвигателя. Согласно уравнению (XII.20)

передаточная функция разомкнутой следящей системы приведенной на рис. XII.4, в диапазоне частот приближенно имеет следующий вид:

Из уравнения (XII.29) следует

Необходимо отметить, что уравнение (X 11.29) справедливо при следующем условии:

и

Последнее в общем случае достигается применением интегро-дифференцирующего корректирующего контура, обеспечивающего опережение по фазе сигнала в области рабочих низких частот и сильное сглаживание высших частот вблизи второй гармоники несущей частоты. Передаточная функция исполнительного электродвигателя всегда удовлетворяет условию так как последний является фильтром нижних частот.

Итак, корректирующее устройство на постоянном токе с передаточной функцией и полосовой фильтр с передаточной функцией по огибающей не должны быть широкополосными, хотя с точки зрения устойчивости следящей системы широкополосные устройства более благоприятны. В рассматриваемой системе также возможен единственный периодический режим в диапазоне частот Передаточная функция разомкнутой системы в этом диапазоне частот определяется уравнением (XI 1.25) и имеет вид

откуда

Наряду с учетом высших гармоник, на практике важно сохранение оптимального фазового сдвига между основными гармониками напряжений на управляющей и неуправляемой обмотках двухфазного электродвигателя во всех его режимах работы и

условиях окружающей среды. При наличии ошибки в частоте настройки полосового фильтра и регулировки фазы опорного напряжения модулятора уравнение (XII.30) теряет силу и должно быть переписано в виде [6]

где — уход фазы опорного напряжения модулятора от оптимального значения;

— полная передаточная функция по огибающей цепи переменного тока с учетом частоты расстройки.

С помощью несложных преобразований функцию можно привести к виду

где — фазовый сдвиг, вносимый полосовым фильтром на несущей частоте.

Функции записываются в виде полиномов от переменной где частота настройки контура переменного тока не намного отличается от несущей частоты. Учитывая, что для большинства практических применений членами со степенью выше первой в функциях с достаточной степенью точности можно пренебречь. Тогда в общем случае

Следовательно, уравнение (XI 1.34) всегда можно, записать в виде

Подставив уравнение (XI 1.35) в (XI 1.33), после несложных преобразований получим

где

и

Как известно из общей теории следящих систем постоянного тока, передаточная функция следящей системы в замкнутом состоянии

Для получения математических приближений функцию целесообразно представить в виде произведения функции характеризующей установившийся процесс, и соответствующего сомножителя зависящего только от переменной и определяющего переходный процесс рассматриваемой цепи звеньев. Функция в общем случае состоит из сомножителей вида

и

Множитель возникает при наличии фазосдвигающей цепи или цепи, эквивалентной электродвигателю. Корректирующая цепь, вводимая с целью стабилизации следящей системы, приводит к появлению множителей обоих видов. После несложных преобразований имеем

где

В последнем выражении приняты следующие обозначения:

Абсолютные значения величин всегда меньше, чем Величина может быть во много раз больше, чем если а весьма мало и Следовательно, в общем случае функция определяется звеньями с двумя типами постоянных времени. Целесообразно множители разделить на две группы. Множители первой группы содержат члены с постоянными времени большими, чем и вторая группа

состоит из членов с постоянными времени меньшими, чем Вторая группа сомножителей определяется рядом

Формула (XI 1.48) имеет большое практическое значение по двум причинам:

1) функция в виде произведения функций установившегося процесса и переходной составляющей позволяет определить экспериментальным путем и рассмотреть влияние различных математических модификаций, связанных с представлением функции Такая процедура особенно удобна для описания электрических машин как звеньев следящей системы;

2) при частотном анализе системы, т. е. при наличии синусоидального закона входных данных, как известно, эффекты нерезонансных цепей по существу сводятся к появлению фазового сдвига как на несущей частоте, так и на частоте огибающей напряжения переменного тока. Фазовый сдвиг на несущей частоте определяется множителем а на частоте огибающей — функцией

Используя приведенную выше методику расчета замкнутых следящих систем переменного тока, можно определить передаточную функцию замкнутой системы для различных схем. Основные схемы замкнутых следящих систем переменного тока и соответствующие им выражения полных передаточных функций по огибающей приведены в работе [6].