4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Изложенные выше методы, основанные на теории чувствительности, пригодны для исследования систем, параметры которых испытывают неслучайные отклонения от номинальных значений. Для большинства же систем автоматического управления

характерным является случайное изменение параметров как во времени, так и по совокупности систем. Ниже рассматривается общая методика исследования статистических характеристик сигналов в системах со случайными параметрами и выявляются существенные особенности их поведения. Затем на основании развития методов теории чувствительности выводятся приближенные соотношения для анализа систем при малых случайных колебаниях их параметров. Показывается глубокая связь между общими методами исследования систем со случайными параметрами и теорией чувствительности.

Статистические характеристики сигналов в системе с произвольным расположением случайного элемента.

Рис. VI.5. Структурные схемы системы с произвольным расположением элемента со случайным коэффициентом усиления: а — исходная; б — приведенная к эквивалентному виду

Рассмотрим задачу определения статистических характеристик выходного сигнала и ошибки системы, в состав которой входит элемент со случайно изменяющимся коэффициентом усиления причем этот элемент в общем случае может быть расположен в системе произвольным образом. Все остальные параметры считаем постоянными.

На вход системы поступает полезный сигнал, состоящий из заданной функции времени и случайной составляющей На полезный сигнал наложена помеха Будем считать, что коэффициент усиления содержит постоянную А и случайную составляющие. Известными считаются корреляционные функции случайных воздействий и случайной функции их взаимные корреляционные функции, а также передаточные функции между всеми точками системы.

Определим средние значения и дисперсию выходного сигнала системы и ошибки На рис. VI.5, а показана рассматриваемая система, а на рис. VI.5, б — эквивалентная ей схема.

На основании эквивалентной схемы запишем уравнения для интересующих нас переменных в следующем виде:

причем

где — средние значения сигналов — случайные составляющие.

В уравнениях, через обозначена импульсная переходная функция от точки до рассматриваемой системы при замене На основании уравнений (VI.47) — (VI.49) искомые средние значения и корреляционные функции сигналов определяются следующей системой интегральных уравнений:

а) для средних значений сигналов

где

— взаимная корреляционная функция сигналов

б) для корреляционных функций сигналов

(см. скан)

При выводе формул (VI.50)-(VI.56) было принято, что средние значения произведений трех случайных процессов (центральные моменты третьего порядка) равны нулю. Это предположение справедливо, когда все три перемножаемых процесса имеют симметричный закон распределения. Пусть в рассматриваемых системах законы распределения всех внешних воздействий будут симметричными. Закон распределения сигнала практически близок к симметричному, поэтому наше предположение допустимо. Встречающиеся при выводе уравнений (VI.54)-(VI.56) моменты четвертого

порядка выражаются по известным формулам [4] через моменты второго порядка (корреляционные функции).

Как видно из формул (VI.50)-Если же действующие на систему сигналы являются стационарными, то поведение средних значений сигналов в переходных и установившихся режимах определяется применением преобразования Лапласа к системе уравнений (VI.50) — (VI.53). Искомые решения имеют вид

где введены следующие обозначения:

Полученные выражения (VI.57) и (VI.58) для преобразований Лапласа от средних значений сигналов позволяют сделать следующий вывод. Средние значения выходного сигнала или ошибки воспроизведения полезного сигнала в системе со случайно изменяющимися параметрами складываются из трех составляющих: первая равна среднему значению соответствующего сигнала в системе с постоянными параметрами [при ] второе слагаемое отражает изменения среднего значения, являющиеся следствием случайных колебаний коэффициента усиления [т. е. вызванные наличием составляющей ] третье слагаемое описывает дополнительные составляющие среднего значения, которые возникают, если случайная составляющая коэффициента усиления коррелирована со случайными сигналами, действующими на систему.

Интересно отметить еще одну особенность поведения средних значений сигналов в исследуемых системах. Система может стать неустойчивой, если дисперсия случайной составляющей коэффициента усиления превышает критическое значение. Условием устойчивости средних значений сигналов является следующее: все полюса функции должны лежать в левой половине комплексной плоскости.

Перейдем к рассмотрению типовых структурных схем систем со случайными коэффициентами.

Системы со случайным коэффициентом обратной связи. Структурная схема системы этого типа показана на рис. VI.6,а. Если то расчетная эквивалентная схема имеет вид, показанный на рис. VI.6, б.

Рис. VI.6. Структурные схемы системы со случайным коэффициентом обратной связи: а — исходная; б — приведенная к эквивалентному виду

К такой же эквивалентной схеме сводится задача исследования системы, заданной дифференциальным уравнением со случайным коэффициентом при свободном члене:

Это уравнение при условии, что может быть преобразовано к виду

Уравнение (VI.60) позволяет для расчетов пользоваться структурной схемой, изображенной на рис. VI.6, б,

Из общих интегральных уравнений (VI.50) — (VI.56) могут быть получены решения для средних значений, дисперсий и корреляционных функций, сигналов в переходных и установившихся

режимах. При этом принимаем, что действующие на систему случайные сигналы стационарны. Средние значения сигналов определяем с помощью преобразований Лапласа по формулам

где — преобразования Лапласа для средних значений сигналов в системе с постоянными параметрами

Если в системе с постоянными параметрами средние значения сигналов стремятся к постоянным величинам то в устойчивой системе со случайными параметрами соответствующие величины определяются следующими формулами:

Если случайная составляющая коэффициента является белым шумом с корреляционной функцией то может быть получено решение интегральных уравнений (VI.54) — (VI.56)

для дисперсий сигналов и с помощью преобразования Лапласа

где — преобразования Лапласа для дисперсий сигналов в переходном процессе в системе со случайными параметрами;

— преобразования Лапласа для дисперсий соответствующих сигналов в системе с постоянными параметрами;

Если процессы в системе являются установившимися, т. е. входные случайные воздействия стационарны, а средние значения сигналов — постоянные величины, то корреляционные функции сигналов определяются выражениями

где — корреляционные функции сигналов для системы с постоянными параметрами.

Системы со случайным коэффициентом усиления измерительного элемента. Для систем этого типа характерной является структурная схема, показанная на рис. VI.7, а, которая при может быть сведена к эквивалентной схеме, приведенной на рис. VI.7, б. На основании последней схемы и общих уравнений (VI.50) — (VI.56) выражения для средних значений и дисперсий выходного сигнала и ошибки при стационарных случайных воздействиях находятся с помощью преобразования Лапласа.

Рис. VI.7. Структурные схемы системы со случайным коэффициентом усиления измерительного элемента: а — исходная; б — приведенная к эквивалентному виду

Средние значения сигналов в переходном режиме могут быть определены по формулам

где введены следующие обозначения:

(кликните для просмотра скана)

Корреляционные функции в установившемся состоянии, когда сигналы и стационарны, будут определяться формулами

где — корреляционные функции сигналов в системе с постоянными параметрами.

Как видно из выражений (VI.71) — (VI.78), средние значения, дисперсии и корреляционные функции складываются из соответствующих значений в системе с постоянными параметрами и составляющих, которые являются следствием случайных изменений параметров и их взаимной корреляции со случайными воздействиями. Структура этих функций такова, что они возрастают с увеличением дисперсии случайного параметра. При определенных уровнях система может быть неустойчивой.

Пример. Определим корреляционную функцию выходного сигнала системы (см. рис. VI.7) при

Подставив данные значения в формулу (VI.77) и выполнив операции интегрирования, получаем

где — корреляционная функция выходного сигнала системы с постоянным коэффициентом усиления, равным А;

— приращение корреляционной функции, вызванное случайными изменениями коэффициента усиления;

Перейдем к нормированной корреляционной функции, причем в качестве нормирующего множителя возьмем тогда

На рис. VI.8 показан вид нормированной корреляционной функции выходного сигнала системы при и различных значениях При увеличении случайной составляющей коэффициента усиления растет.

Зависимость дисперсии выходного сигнала системы от построенная по формуле (VI.80) при приведена на рис. VI.9.

Рис. VI.8. Корреляционная функция выходного сигнала

Устойчивость системы нарушается, когда знаменатель второго слагаемого в формуле (VI.80) обращается в ноль, отсюда можно найти предельное значение При предельное

Корреляционной функции вида (VI.81) соответствует нормированная спектральная плотность

Первое слагаемое в выражении (VI.82) соответствует нормированной спектральной плотности выходного сигнала в системе с постоянными параметрами, второе слагаемое отражает увеличение спектральной плотности при случайных изменениях коэффициента усиления. На рис. VI.10 показана кривая спектральной плотности при различных значениях

Рассмотрим, как меняются дисперсии выходного сигнала и ошибки системы (0), когда уровень случайной составляющей коэффициента усиления остается постоянным, а в системе меняется среднее значение коэффициента

(кликните для просмотра скана)

усиления А. Пусть тогда в формуле . Используя выражения (VI.77) и (VI.78), найдем

На рис. VI.11 показано изменение дисперсий выходного сигнала и ошибки в функции от А при различных значениях . В обоих случаях при уменьшении коэффициента усиления А и приближении его к критическому значению наблюдается рост составляющей дисперсии, определяемой случайными изменениями коэффициента усиления, причем устойчивость дисперсии нарушается, когда Поэтому критическое значение