Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИИзложенные выше методы, основанные на теории чувствительности, пригодны для исследования систем, параметры которых испытывают неслучайные отклонения от номинальных значений. Для большинства же систем автоматического управления характерным является случайное изменение параметров как во времени, так и по совокупности систем. Ниже рассматривается общая методика исследования статистических характеристик сигналов в системах со случайными параметрами и выявляются существенные особенности их поведения. Затем на основании развития методов теории чувствительности выводятся приближенные соотношения для анализа систем при малых случайных колебаниях их параметров. Показывается глубокая связь между общими методами исследования систем со случайными параметрами и теорией чувствительности. Статистические характеристики сигналов в системе с произвольным расположением случайного элемента.
Рис. VI.5. Структурные схемы системы с произвольным расположением элемента со случайным коэффициентом усиления: а — исходная; б — приведенная к эквивалентному виду Рассмотрим задачу определения статистических характеристик выходного сигнала и ошибки системы, в состав которой входит элемент со случайно изменяющимся коэффициентом усиления На вход системы поступает полезный сигнал, состоящий из заданной функции времени Определим средние значения и дисперсию выходного сигнала системы На основании эквивалентной схемы запишем уравнения для интересующих нас переменных в следующем виде:
причем
где В уравнениях, а) для средних значений сигналов
где
— взаимная корреляционная функция сигналов б) для корреляционных функций сигналов (см. скан) При выводе формул (VI.50)-(VI.56) было принято, что средние значения произведений трех случайных процессов (центральные моменты третьего порядка) равны нулю. Это предположение справедливо, когда все три перемножаемых процесса имеют симметричный закон распределения. Пусть в рассматриваемых системах законы распределения всех внешних воздействий будут симметричными. Закон распределения сигнала порядка выражаются по известным формулам [4] через моменты второго порядка (корреляционные функции). Как видно из формул (VI.50)- где введены следующие обозначения:
Полученные выражения (VI.57) и (VI.58) для преобразований Лапласа от средних значений сигналов позволяют сделать следующий вывод. Средние значения выходного сигнала Интересно отметить еще одну особенность поведения средних значений сигналов в исследуемых системах. Система может стать неустойчивой, если дисперсия случайной составляющей коэффициента усиления превышает критическое значение. Условием устойчивости средних значений сигналов является следующее: все полюса функции Перейдем к рассмотрению типовых структурных схем систем со случайными коэффициентами. Системы со случайным коэффициентом обратной связи. Структурная схема системы этого типа показана на рис. VI.6,а. Если
Рис. VI.6. Структурные схемы системы со случайным коэффициентом обратной связи: а — исходная; б — приведенная к эквивалентному виду К такой же эквивалентной схеме сводится задача исследования системы, заданной дифференциальным уравнением со случайным коэффициентом при свободном члене:
Это уравнение при условии, что
Уравнение (VI.60) позволяет для расчетов пользоваться структурной схемой, изображенной на рис. VI.6, б,
Из общих интегральных уравнений (VI.50) — (VI.56) могут быть получены решения для средних значений, дисперсий и корреляционных функций, сигналов в переходных и установившихся режимах. При этом принимаем, что действующие на систему случайные сигналы стационарны. Средние значения сигналов
где
Если в системе с постоянными параметрами средние значения сигналов
Если случайная составляющая коэффициента для дисперсий сигналов
где
Если процессы в системе являются установившимися, т. е. входные случайные воздействия стационарны, а средние значения сигналов
где Системы со случайным коэффициентом усиления измерительного элемента. Для систем этого типа характерной является структурная схема, показанная на рис. VI.7, а, которая при
Рис. VI.7. Структурные схемы системы со случайным коэффициентом усиления измерительного элемента: а — исходная; б — приведенная к эквивалентному виду Средние значения сигналов
где введены следующие обозначения: (кликните для просмотра скана) Корреляционные функции в установившемся состоянии, когда сигналы
где Как видно из выражений (VI.71) — (VI.78), средние значения, дисперсии и корреляционные функции складываются из соответствующих значений в системе с постоянными параметрами Пример. Определим корреляционную функцию выходного сигнала системы (см. рис. VI.7) при
Подставив данные значения в формулу (VI.77) и выполнив операции интегрирования, получаем
где
Перейдем к нормированной корреляционной функции, причем в качестве нормирующего множителя возьмем
На рис. VI.8 показан вид нормированной корреляционной функции выходного сигнала системы при Зависимость дисперсии выходного сигнала системы от
Рис. VI.8. Корреляционная функция выходного сигнала Устойчивость системы нарушается, когда знаменатель второго слагаемого в формуле (VI.80) обращается в ноль, отсюда можно найти предельное значение Корреляционной функции вида (VI.81) соответствует нормированная спектральная плотность
Первое слагаемое в выражении (VI.82) соответствует нормированной спектральной плотности выходного сигнала в системе с постоянными параметрами, второе слагаемое отражает увеличение спектральной плотности при случайных изменениях коэффициента усиления. На рис. VI.10 показана кривая спектральной плотности Рассмотрим, как меняются дисперсии выходного сигнала (кликните для просмотра скана) усиления А. Пусть
На рис. VI.11 показано изменение дисперсий выходного сигнала и ошибки в функции от А при различных значениях
|
1 |
Оглавление
|