6. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Перейдем к рассмотрению приближенного метода анализа систем со случайными параметрами с применением основных положений теории чувствительности на примере структурной схемы системы автоматического управления, изображенной на рис. VI. 12. Согласно схеме выходной 
и промежуточный 
сигналы запишем следующим образом:
где
Пользуясь методами теории чувствительности, функцию 
можно представить в виде ряда
Ограничиваясь рассмотрением только первых членов, получим для сигнала 
следующее приближенное выражение:
Подставляя его в формулу (VI .96), получим
На основании выражения (VI. 100) формула для определения среднего значения в системе со случайными параметрами имеет следующий вид:
где
После подстановки 
в формулу (VI. 101) для среднего значения получим
где
являются средними значениями соответствующих сигналов в системе с постоянными параметрами 
Если случайные процессы на входах и случайные изменения параметров системы являются стационарными случайными функциями времени, то для определения среднего значения в установившихся и переходных режимах может быть использовано преобразование Лапласа
где
В том случае, когда изменения параметров и входные воздействия не коррелированы между собой, формулы 
и (VI.105) можно упростить:
и
где
Перейдем к определению корреляционных функций выходных сигналов. С этой целью, пользуясь выражением (VI. 100), запишем 
для моментов времени 
сохраняя только два первых члена:
Перемножая 
на 
осредняя произведение и исключая из левой и правой частей полученного равенства члены, соответствующие произведению 
находим выражение для корреляционной функции
где
(см. скан)
Для случая некоррелированных между собой входных воздействий и случайных параметров системы формула для корреляционной функции выходного сигнала существенно упрощается:
где
и 
определяется формулой (VI.104).
Для стационарных случайных воздействий и параметров системы можно определить спектральную плотность выходного
сигнала, если в установившемся состоянии 
, т. е.
где 
преобразование Фурье функции 
Применение методов теории чувствительности к исследованию систем со случайными параметрами позволило получить решение для средних значений и корреляционных функций в замкнутой форме для общего вида структурной схемы системы, минуя решение интегральных уравнений.
Рис. VI.13. Структурные схемы, соответствующие дифференциальному уравнению со случайными коэффициентами: а — с операторами вида в прямой цепи схемы; б - с операторами вида 
в обратной связи схемы
Если система автоматического управления описывается дифференциальным уравнением со случайными параметрами
где 
— среднее значение и 
— случайное изменение коэффициента 
то уравнение (VI. 121) может
быть структурно представлено в виде схем, изображенных на рис. VI. 13, а и б.
К исследованию структурных схем рис. VI. 13 можно применить методику, изложенную в данном параграфе, так как ее рассмотрение проводилось без ограничения на место расположения элемента со случайными параметрами.
