1. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРОЦЕССА АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ ВОЗМУЩАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ СПЕКТРАЛЬНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Точность процесса регулирования может быть охарактеризована совокупностью количественных характеристик, отражающих несоответствие действительного закона изменения регулируемой величины заданному. При автоматической стабилизации заданное значение регулируемой величины является постоянной величиной. Положим для определенности

Следовательно, оценку точности процесса автоматической стабилизации следует рассматривать относительно приближения действительного закона изменения регулируемой величины к закону

Если система стабилизации асимптотически устойчива, то единственно возможной причиной несоответствия действительного закона изменения регулируемой величины заданному по окончании начальной стадии процесса является наличие возмущающих воздействий. На начальной стадии процесса причиной несоответствия могут явиться также ненулевые начальные условия. Вопрос о поведении системы регулирования в начальной стадии процесса составляет специальную задачу и в данной главе не рассматривается.

Воздействия, возмущающие стационарное состояние системы автоматической стабилизации, в общем случае могут состоять из воздействий с плавным законом изменения, внезапно приложенных воздействий и импульсов. Если рассматривать воздействия в целом, то их можно разделить на два класса:

класс А — воздействий, вызывающих процессы типа чередования возмущенного и практически стационарного состояний;

класс В — воздействий, непрерывно поддерживающих возмущенное состояние системы.

Как в том, так и в другом случае приложение возмущающих воздействий к системе приводит к изменению среднего значения регулируемой величины и к появлению динамических отклонений

регулируемой величины от среднего значения. В задачах автоматической стабилизации среднее значение регулируемой величины характеризует статическую точность регулирования, а интенсивность колебаний регулируемой величины около среднего значения — динамическую точность регулирования. Количественной характеристикой статической точности регулирования для системы автоматической стабилизации является разность между средним и заданным значениями регулируемой величины. При этом имеется в виду, что среднее значение определяется на достаточно большом интервале времени.

При заданных возмущающих воздействиях, приложенных к фиксированному звену системы, статическая точность регулирования зависит от нулевого значения передаточной функции системы определенной по отношению к возмущающему воздействию, как по входу, и к регулируемой величине, как к выходу; оно связывает среднее значение возмущающего воздействия со средним значением регулируемой величины т. е.

(предполагается, что заданное значение равно нулю).

Возможные количественные характеристики динамической точности регулирования весьма разнообразны (например, максимальное отклонение регулируемой величины, число выбегов регулируемой величины за заданные пределы

Оценивая динамическую точность регулирования, мы будем пользоваться исключительно такими характеристиками, которые могут быть применимы при процессах, вызванных любыми возмущающими воздействиями рассматриваемого класса, т. е. не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность ни при одном воздействии этого класса.

Пусть — возмущающее воздействие класса А. Поскольку для воздействий этого класса периоды изменения функции чередуются с длительными периодами ее постоянства, продолжительностью не менее времени установления стационарного состояния системы, то, анализируя процессы, вызванные этими воздействиями, можно рассматривать изолированно только один период изменения функции Примем начало рассматриваемого периода ее изменения за начало отсчета времени и будем отсчитывать значения регулируемой величины от той величины, которую она имела в предшествующий период ее постоянства, а значение воздействия от последнего его значения.

Установим оценки динамической точности регулирования и их связь с характеристиками системы и характеристиками воздействий для каждого из следующих вариантов сведений о возмущающем воздействии:

I. Известна величина интеграла модуля

II. Известна величина интеграла квадрата

III. Известна величина полной вариации

IV. Известна величина квадрата производной

В определении количественных характеристик воздействий в качестве верхнего предела интегрирования принята вместо времени практического установления процесса Это сделано в угоду математической строгости анализа и допустимо, так как на результаты исследований не влияет.

Очевидно, характеризовать воздействие числом можно лишь в том случае, если воздействие принадлежит к классу воздействий, для которых

и числом если воздействие принадлежит к классу воздействий, для которых

и т. д. Следовательно, наличие тех или иных из указанных выше сведений о воздействиях предполагает их принадлежность к соответствующему классу. В частности, воздействие может принадлежать одновременно к нескольким классам и в силу этого допускать возможность сведений о нем в объеме нескольких характеристик рассматриваемого вида.

Условимся в дальнейшем называть воздействие, имеющее характеристику воздействием класса воздействие, допускающее характеристику воздействием класса

Для оценки динамической точности регулирования в первом случае можно воспользоваться характеристикой

так как она не обращается ни в нуль, ни в бесконечность ни для одного воздействия класса Установим связь между значением оценки характеристикой возмущающего воздействия и передаточной функцией системы

На основании теоремы Релея имеем

где — преобразование Лапласа функции

Рис. V.l. Разделение функции на составляющие

Учитывая формулу связи функции с передаточной функцией и функцией в виде

из уравнения (V.9), получим

Заменим функцию суммой двух функций

удовлетворяющих условиям (рис. V.1)

Обозначим

Очевидно,

Кроме того, при в силу условия (V.13)

Из выражений (V.11), (V. 15) и (V. 16) следует

Учитывая, что

и равенство (V.4), получим

Принимая во внимание, что на основании теоремы Релея

где — импульсная переходная функция системы, неравенство (V.18) можно записать также в виде

Рассмотрим теперь воздействие класса . В этом случае для оценки динамической точности регулирования может быть применена та же характеристика Соотношение между оценкой характеристикой воздействия и характеристиками системы устанавливает неравенство

которое можно получить, рассматривая при выводе неравенства (V.20) функцию как передаточную функцию, а функцию как возмущающее воздействие.

При воздействиях классов и можно применить оценку точности регулирования вида

В этих случаях можно показать, что

Неравенства и (V.24) позволяют оценить сверху точность процесса автоматической стабилизации, если известны характеристики или возмущающего воздействия класса А.

Пусть теперь — возмущающее воздействие классса В. Установим оценки динамической точности регулирования и их связи с характеристиками системы воздействия для трех следующих вариантов сведений о возмущающих воздействиях:

воздействие есть эргодический стационарный случайный процесс; с известными значениями математического ожидания и дисперсии

производная воздействия есть также эргодический стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

воздействие ограничено по модулю и известно максимальное значение модуля функции

В первом случае математическое ожидание величины воздействия однозначно определяет математическое ожидание регулируемой величины которое характеризует статическую точность регулирования. Для оценки динамической точности регулирования удобно перейти от функции к функции вычитая из первой величины т.

Функция

— центрированный стационарный случайный процесс, т. е. стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием. Рассматривая процесс регулирования как наложение двух процессов — постоянного смещения регулируемой величины на величину ее среднего значения и колебаний около среднего значения с мгновенным значением отклонения

динамическую точность регулирования можно характеризовать средним квадратическим значением величины

Найдем далее связь оценки с характеристикой воздействия и характеристиками системы.

Пусть — спектральная плотность функции тогда между функциями и величиной с вероятностью, равной единице, имеет место связь (см. гл. I)

Представим функцию в виде произведения двух сомножителей:

Тогда формула (V.27) может быть записана в виде

Из формулы (V.28) на основании ранее доказанного следуют неравенства

где

— оригинал функции

Коэффициенты и в неравенствах (V.29) являются характеристиками воздействий. Коэффициент может быть найден на основании теоремы Релея

и, следовательно,

Таким образом, из второго неравенства (V.29) определяем в случае воздействия первого вида динамическую точность системы регулирования в виде среднего квадратического значения величины х. При воздействиях второго вида неравенства для оценки могут быть получены как следствия неравенств (V.29).

Эти неравенства следующие:

где

Данные неравенства выполняются с вероятностью равной единице.

На основании теоремы Релея, имеем

где — спектральная плотность процесса

Следовательно,

Таким образом, второе из неравенств (V.33) устанавливает связь оценки с известной характеристикой воздействия и импульсной переходной функцией системы.

Заметим, что вторые неравенства в системах (V.29) и (V.33), устанавливающие интересующие нас зависимости, эквивалентны неравенствам

где — средние квадратические значения

В случае воздействий, ограниченных по модулю, применима оценка точности стабилизации по модулю максимального значения регулируемой величины хтах. Как показано в работе [1], между оценкой хтах, характеристикой воздействия и импульсной переходной функцией системы имеет место связь

Обратим внимание на то, что характеристика хтйх отличается по своему характеру от других рассмотренных выше оценок точности регулирования, так как ею оценивается одновременно статическая и динамическая точность регулирования.