8. ПРИМЕНЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Частотные методы, широко распространенные в настоящее время для исследования процессов, происходящих в системах автоматического управления [5], могут быть применены также и для построения процессов, происходящих в системах со случайными параметрами [2]. Приведенные выше формулы позволяют применить частотный метод для построения соответствующих функций времени. Рассмотрим методику построения среднего значения выходного сигнала в переходном режиме при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия. Для системы с одним входом и одним выходом формула запишется следующим образом:

Первое слагаемое, которое можно обозначить соответствует процессу, происходящему в системе с постоянными параметрами. Второе слагаемое, отражает изменения, происходящие под влиянием случайных колебаний параметров.

Процесс также состоит из двух частей, т. е.

Приведем последовательность построения частотных характеристик, соответствующих и функций времени

1) сначала строим логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы;

2) затем строим логарифмические частотные характеристики, соответствующие всем передаточным функциям, входящим в формулу (VI.153), т. е.

3) далее с помощью номограмм замыкания производим построение логарифмических частотных характеристик, соответствующих сомножителю

4) путем сложения частотных характеристик отдельных сомножителей находим логарифмические частотные характеристики, соответствующие произведению

5) после этого определяем вещественные характеристики и соответствующие используя номограммы вида

6) по вещественным частотным характеристикам и методом трапецеидальных характеристик (с помощью таблиц -функций) строим процессы Для двух типовых структурных схем систем со случайными параметрами, рассмотренных в § 4 настоящей главы, построение упрощается, так как в состав формул (VI.62) и (VI.71) входят только передаточные функции

Применение логарифмических частотных характеристик позволяет упростить построение спектральных плотностей и дисперсий в системах со случайными параметрами. При этом частотные характеристики сомножителей вида

строятся с использованием номограмм замыкания. Рассмотрим методику нахождения функции входящей в формулы преобразований Лапласа от средних значений сигналов в переходных режимах. Согласно принятому обозначению

В ряде случаев корреляционная функция может быть аппроксимирована выражениями вида

или

В этом случае получим

или

Построение логарифмических частотных характеристик, соответствующих функции , удобно производить, если представить ее в виде произведений передаточных функций типовых динамических звеньев.

Будем считать, что

тогда

(кликните для просмотра скана)

где передаточная функция типового динамического звена (например, апериодического, колебательного и т. д.).

В качестве иллюстрации рассмотрим применение изложенной методики к построению переходных процессов в системе со случайным коэффициентом усиления измерительного элемента, структурная схема которой показана на рис. VI.7.

Передаточная функция разомкнутой системы

где

Корреляционная функция случайных изменений коэффициента усиления

Рис. VI.16. (см. скан) Вещественные частотные характеристики

Преобразование Лапласа от среднего значения выходного сигнала в данной системе при единичном ступенчатом воздействии согласно формуле (VI.71)

где

На рис. VI. 15 показаны логарифмические частотные характеристики, соответствующие ряду функций.

Вещественные частотные характеристики и соответствующие первому и второму слагаемым в формуле показаны на рис. VI. 16. По этим вещественным характеристикам методом трапецеидальных характеристик с использованием таблиц

-функций построены функции времени показанные на рис. VI. 17. Рассматривая указанные процессы, можно сделать следующий вывод, что с увеличением а, т. е. с расширением полосы частот, в которой лежат изменения коэффициента усиления, их влияние на переходный процесс в системе падает.

Рис. VI.17. Изменение среднего значения выходного сигнала системы в переходном процессе

В том случае, когда коэффициент усиления системы является величиной, случайной по совокупности, и имеет дисперсию изменение среднего значения выходного сигнала в переходном процессе согласно формуле (VI. 128) описывается преобразованием Лапласа:

Применяя теорию чувствительности, получим

(кликните для просмотра скана)

На рис. VI. 18 показаны логарифмические частотные характеристики, соответствующие некоторым функциям.

С уменьшением величины кривые, соответствующие функции

стремятся к кривым функции

Аналогичное явление наблюдается на рис. VI. 19, где показаны вещественные частотные характеристики а также на рис. VI.20, на котором изображены соответствующие им переходные процессы

Рис. VI.19. Вещественные частотные характеристики

Из приведенного анализа можно сделать вывод, что с уменьшением величины дисперсии случайного коэффициента усиления а процессы, построенные по формуле (VI. 166), сходятся к процессам, построенным по формуле (VI. 167), полученной на основе теории чувствительности.

В заключение, пользуясь методом теории чувствительности, построим дисперсию выходного сигнала системы в случае, когда на входе приложено единичное ступенчатое воздействие, а коэффициент усиления имеет дисперсию

Рис. VI.20. Изменение среднего значения выходного сигнала системы в переходном процессе

Представим выходной сигнал в виде ряда

Сохраняя два первые члена ряда (VI. 168), можно получить следующие выражения для дисперсии сигнала в переходном режиме:

где — функция чувствительности, равная

При заданной структуре системы (см. рис. VI. 17)

Выражение для дисперсии принимает следующий вид:

Построение функции чувствительности удобно производить частотным методом по формуле (VI.171). На рис. VI.18 приведены логарифмические частотные характеристики, соответствующие

формулам , а на рис. VI.21 показана кривая построенная методом трапецеидальных характеристик.

Рис. V 1.21. Изменение дисперсии выходного сигнала системы в переходном процессе

Для получения дисперсии ординаты кривой, показанной на рис. VI.21, должны быть умножены на величину

Исследование динамической точности систем автоматического управления с учетом случайных отклонений их параметров показало, что они обладают рядом существенных особенностей.

Среднее значение динамической ошибки системы увеличивается как в переходных режимах, так и в установившемся состоянии. Если случайные колебания параметров системы коррелированы со входными случайными сигналами, то на выходе появляется систематическая ошибка даже при отсутствии неслучайных входных сигналов.

Случайная составляющая выходного сигнала системы со случайными параметрами существенно увеличивается по сравнению с системой с постоянными параметрами, спектральная плотность выходного сигнала расширяется. Особенно сильно сказываются колебания параметров на рост дисперсии выходного сигнала в переходных процессах. При неслучайных входных сигналах за счет эффекта перемножения на выходе системы возникает случайный сигнал.

Среднее значение и дисперсия выходного сигнала системы возрастают с увеличением дисперсии случайных составляющих параметров, и при достижении определенных границ система может потерять устойчивость — сигнал на ее выходе неограниченно возрастает.

Методика исследования систем со случайными параметрами, основанная на эквивалентном представлении их в виде схем с перемножителями, позволяет количественно оценить статистические характеристики выходных сигналов и выявить все указанные их особенности. Дальнейшее ее развитие должно идти, по-видимому, в направлении совершенствования методов решения интегральных уравнений, описывающих поведение статистических

характеристик как в линейных, так и нелинейных системах. Большой интерес для практики представляет развитие методов исследования систем, в которых законы распределения параметров существенно отличаются от нормальных.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)