10. СИНТЕЗ ПРИ УЧЕТЕ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ ТИПА НАСЫЩЕНИЯ

В реальных системах обычно имеют место нелинейные ограничения, когда амплитуда сигнала на выходе того или иного элемента выходит за пределы линейной области.

Излагаемый ниже способ синтеза оптимальных динамических характеристик [9] производится таким образом, чтобы обеспечить достаточно малую, вероятность выхода сигнала за пределы линейной области. Ограничение амплитуды случайного сигнала сводится к ограничению его среднеквадратического значения величиной, равной некоторой части линейной области элемента с насыщением (рис. VII.18).

Соотношение между среднеквадратическим значением выходного сигнала и вероятностью его насыщения, т. е. выхода из пределов линейной области, можно получить на основе следующих соображений. Предположим, что на вход рассматриваемого линейного элемента воздействует сигнал с нормальным распределением. Тогда сигнал на его выходе будет также иметь нормальное распределение.

Рис. VII.18. Характеристика элемента с насыщением

Рис. VII.19. Зависимость вероятности насыщения от для случая нормального распределения

Вероятность выхода сигнала за пределы линейной области элемента с насыщением, включенного последовательно с линейным элементом, определяется формулой

где — максимально допустимое значение сигнала на выходе элемента с насыщением, а — выбранное среднеквадратическое значение этого сигнала.

На рис. VII.19 приведена кривая, которая описывается формулой (VII. 191). При этом, если выбрать а равным 40% от т. е. , то вероятность выхода сигнала за пределы линейной области не будет превышать 1%.

Рис. VII.20. Система с обратной связью, содержащая элемент с насыщением

Рассмотрим теперь систему с обратной связью, содержающую элемент с насыщением (рис. VI 1.20). Если случайный входной сигнал имеет нормальное распределение, то сигнал на. входе элемента с насыщением, вообще говоря, уже не будет нормально распределенным. Это следует из того, что элемент с насыщением, как нелинейный элемент, вызовет нарушение нормального закона распределения величины на его выходе, взаимодействующей через обратную связь с сигналом на его входе.

Рис. VII.21. Эквивалентная схема системы

Однако если после элемента с насыщением включены звенья, обладающие свойствами фильтра низких частот, то согласно центральной предельной теореме закон распределения случайной величины становится близким к нормальному; при этом формула (VI 1.191) останется справедливой.

Перейдем теперь непосредственно к задаче синтеза при учете нелинейности типа насыщения. Составим эквивалентную схему

(рис. VII.21). Она состоит из последовательного эквивалентного элемента и заданной части.

При этом передаточная функция эквивалентного элемента равна

Из последнего выражения видно, что если функция известна, то передаточная функция корректирующего элемента исходной схемы может быть определена по формуле

Имея все это в виду, сформулируем задачу синтеза следующим образом.

По заданным корреляционным функциям входного сигнала, ограничениям на среднеквадратические значения сигнала импульсным переходным функциям времени переходного процесса и преобразующему оператору Н необходимо найти импульсную переходную функцию эквивалентного динамического элемента или его передаточную функцию так, чтобы обеспечить минимум среднеквадратической ошибки величины на выходе.

В соответствии со схемой (см. рис. VII.21) ошибку можно определить по формуле

Если потребовать, чтобы среднее значение ошибки равнялось нулю, то получим

или

Полагая, что полином степени получим ограничения на импульсную переходную функцию

Если условие (VII. 195) выполняется, то ошибку можно представить в виде

После возведения в квадрат и усреднения имеем

Ограничения на о определяются формулой

Для определения импульсной переходной функции, обеспечивающей минимум среднеквадратической ошибки (VII. 199) при выполнении ограничивающих условий (VII. 197) и (VII.200), составим функционал

В результате решения вариационной задачи получим интегральное уравнение

Если корреляционной функции

соответствует дробно-рациональная спектральная плотность, определяемая зависимостью (VII.75), то решение интегрального уравнения (VI 1.202) имеет вид

Для определения неизвестных и множителей Лагранжа и импульсную переходную функцию (VI 1.204) подставим в интегральное уравнение (VI 1.202), ограничивающие условия (VII. 197) и (VII.200). По найденной импульсной переходной функции определим передаточную функцию

а по ней с помощью формулы (VII. 193) — передаточную функцию корректирующего устройства.