1. ИНВАРИАНТНОСТЬ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

При решении задач инвариантности следует всегда различать — имеем ли мы систему созданную на основании принципа регулирования «по отклонениям" или на основании принципа регулирования „по возмущениям", или же на основании комбинированного принципа, когда оба упомянутые выше принципа используются одновременно.

Рассмотрим системы, созданные на основании принципа регулирования отклонениям». Возьмем общий случай системы со многими регулируемыми параметрами. Так как для каждого из регулируемых параметров будут необходимы свои измерительные и усилительные устройства, а также свои серводвигатели, то вся система в целом будет описываться совокупностью дифференциальных уравнений с переменными

где полиномы имеют, например, вид

Ставится задача об определении условий независимости (критерия инвариантности) какой-либо координаты от внешнего возмущения произвольного вида. Для решения задач инвариантности наиболее пригодно операционное исчисление, так как в этом случае отпадает необходимость приводить исходную систему дифференциальных уравнений к канонической форме, что всегда необходимо делать при использовании матричных методов решения задач инвариантности, развитых в работе [13]. Метод преобразования Лапласа целесообразно использовать для решения задач инвариантности, так как он позволяет легко выявить роль начальных условий в достижении полной инвариантности, а также простым путем перейти от исходной системы дифференциальных уравнений к соответствующей им структурной схеме исследуемой системы автоматического регулирования. Наконец, еще одной положительной стороной операционного исчисления является то, что с его помощью удается легко обнаружить физический смысл самого критерия инвариантности.

Применив преобразование Лапласа к уравнению (IX. 1), получим следующие выражения:

где вторые члены правой части каждого из уравнений отображают начальные условия. Например, для первого уравнения этот член имеет вид

Аналогичным образом вводятся начальные условия и в другие уравнения. Для определения условий независимости от решим алгебраически систему уравнений (IX.3) относительно изображения переменной

Раскрывая главный определитель системы и определитель правой части выражения (IX.5) по элементам столбца, получим (опустив для краткости записей букву 5)

где — алгебраические дополнения, соответствующие элементам главного определителя системы

Из соотношения (IX.6) уже видно, что для достижения инвариантности относительно необходимо и достаточно, чтобы

Это и есть критерий инвариантности Щипанова — Лузина, дающий возможность синтезировать инвариантные системы в классе систем регулирования „по отклонениям". Аналогичным же образом решаются и более сложные задачи определения условий одновременной инвариантности нескольких координат относительно одного или нескольких внешних возмущений. Однако следует при этом отметить, что по мере рост числа переменных и усложнения постановки задачи инвариантности результаты становятся плохо обозримыми. Поэтому вполне естественно желание иметь некоторые простые правила, пользуясь которыми, можно было бы легко получать соответствующие условия инвариантности. Такого рода правила и могут быть предложены на основе использования операционного исчисления и обычных представлений теории автоматического регулирования.

Если из выражения (IX.6) определить то будем иметь при нулевых начальных условиях

Полагая все возмущения, кроме равными нулю, можем записать выражение для передаточной функции между точкой приложения внешнего воздействия и точкой измерения координаты в виде

При выполнении условия абсолютной инвариантности (IX.8) из выражения (IX. 10) получаем, что при Поэтому можно сказать, что для достижения абсолютной инвариантности некоторой координаты относительно внешнего

воздействия необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция между внешним воздействием и входным сигналом измерительного устройства была бы тождественно равна нулю (когда остальные воздействия отсутствуют и имеются нулевые начальные значения всех координат). Выполнение условий инвариантности, таким образом, сводится к подбору нулевого значения передаточной функции между соответствующими точками структурной схемы рассматриваемой системы автоматического регулирования [16].

Пример. Исследуем более частный случай — систему не выше шестого порядка. Это позволит более наглядно показать интересные особенности динамических систем, удовлетворяющих условиям абсолютной инвариантности.

Рассмотрим систему уравнений

Эти уравнения записаны в символической форме следовательно, необходимо будет применять прямую операцию Лапласа для перехода к соответствующим уравнениям для изображений

Введем поэтому сразу начальные условия и запишем уравнения для изображений

где — члены, отображающие начальные данные для переменных соответственно.

Согласно теореме о дифференцировании оригиналов начальных условий Для данного случая, когда все операторы не выше второго порядка, записываются следующим образом:

Система, уравнений для изображений (IX.12) является алгебраической. Поэтому для решения ее относительно переменных можно воспользоваться алгебраическими методами. Так как все начальные условия введены сразу и в необходимом количестве, то избыточных

паразитирующих решений [13] возникнуть не может. Поэтому можно написать три следующих выражения:

где

Подставив эти определители в выражение (IX.13), получим, опустив, для сокращения записи букву

Рассмотрим теперь более детально уравнение (IX. 14). Сразу можно обратить внимание на то, что если определитель второго порядка

то изображение не будет зависеть от изображения внешнего воздействия , соответственно этому, оригинал не будет зависеть от самого внешнего возмущения

Таким образом, вновь получено условие абсолютной инвариантности Шипанова — Лузина для координаты относительно внешнего воздействия

Если то условие (IX.17) эквивалентно следующим пяти скалярным тождествам:

Эти тождества были получены в результате записи определителя в виде полинома

и приравнивания к нулю каждого из его коэффициентов. Если тождества (IX.18) не выполнены точно и суть некоторые малые величины, то будем говорить, что условия инвариантности выполнены до и такого рода системы будем именовать системами, инвариантными до . Это касается не только систем третьего порядка, но и порядка.

Если условие абсолютной инвариантности (IX.17) выполнено точно, то после простых преобразований уравнение (IX.14) можно записать в виде

или в более краткой форме

где миноры, соответствующие элементам определителя обозначены через

Таким образом, уравнение для изображения имеет вид

Из полученного выражения совершенно очевидно, что при удовлетворении условия абсолютной инвариантности устраняется только вынужденная компонента решения для а собственная (переходная) остается, и она определяется начальными значениями Далее, отметим, что трансформируется определенным образом также собственная (переходная) составляющая, так как частично вырождается характеристическое уравнение системы

Анализируя аналогичным образом уравнения (IX. 15) и (IX.16), можно выяснить поведение измерительного элемента системы (координата ) и поведение серводвигателя (координата Для того чтобы выявить интересующие нас особенности инвариантных систем, построим структурную схему для системы дифференциальных уравнений, полагая ради простоты, что

и учитывая знаками направления передаваемых воздействий.

Уравнения для изображений по Лапласу при нулевых начальных условиях имеют вид

где - изображение по Лапласу управляющего воздействия, введенного дополнительно.

Разрешим каждое из уравнений системы (IX.20) относительно основной для данного уравнения переменной:

Структурная схема, соответствующая системе уравнений (IX.21), приведена на рис. IX.1.

Рис. IX. 1. Структурная схема, соответствующая системе уравнений (IX.21)

Далее запишем выражение для передаточной функции контура, охваченного внутренней положительной обратной связью:

При удовлетворении условия абсолютной инвариантности (IX. 17), которое можно переписать в виде, совпадающем со знаменателем выражения (IX.22),

передаточная функция контура Положительная обратная связь обусловливает возможность получить большой коэффициент усиления системы. Однако ее влияние может быть как положительным, так и отрицательным. Первое заключается в том, что регулируемая величина становится независимей (инвариантной) от внешних воздействий, а второе состоит в том, что при очень большом коэффициенте усиления в системе возможна генерация незатухающих или расходящихся колебаний, т. е. возможна

потеря устойчивости. Итак, абсолютно инвариантная система автоматического регулирования рассматриваемой структуры (созданная на основании принципа регулирования по отклонениям) эквивалентна некоторой гипотетической системе, имеющей звено с бесконечно большим коэффициентом усиления, структурная схема которой представлена на рис. IX.2.

Рис. IX.2. Структурная схема, эквивалентная схеме, приведенной на рис. IX. 1, при удовлетворении условия абсолютной инвариантности

В рассматриваемом типе инвариантной системы (рис. IX.1) наличие контура с внутренней положительной обратной связью и бесконечно большим коэффициентом усиления и приводит к тому, что передаточная функция по каналу внешнего возмущения

становится равной нулю, как это непосредственно следует из последнего выражения при

Таким образом, уже на этом простейшем примере хорошо видно, что достичь абсолютной инвариантности для системы рассматриваемой структуры — это значит так подобрать передаточную функцию между точкой приложения внешнего воздействия и точкой измерения координаты абсолютной инвариантности которой стремятся достичь, чтобы эта передаточная функция была равна нулю. Передаточная функция по каналу управляющего воздействия может и не быть равной нулю. Так, для рассматриваемой системы

и при передаточная функция не равна нулю.

К этому стремятся при создании абсолютно инвариантных систем, так как необходимо уметь достичь инвариантности определенной координаты относительно того или иного возмущения, не потеряв возможности передавать управляющие сигналы.

При корректной постановке задач инвариантности ставится цель — сделать тождественно равной нулю вынужденную составляющую решения а собственная (переходная) составляющая может быть отличной от нулевого значения.

Однако в системе, описываемой дифференциальными уравнениями вида (IX.20), не удается выполнить условие абсолютной инвариантности (IX. 17) по некоторым причинам, которые будут здесь разъяснены.

Для любых других систем с одним регулируемым параметром, созданных на основе принципа регулирования по отклонениям, также нельзя добиться абсолютной инвариантности регулируемого параметра относительно внешнего возмущения действующего на сам объект регулирования, так как при этом возникает затруднение принципиального характера. Заключается оно в том, что для удовлетворения условия (IX. 17) абсолютной инвариантности (или аналогичного вида) необходимо иметь физические устройства, выполняющие операции идеального дифференцирования. Действительно, для реализации операторов вида

и т. д., входящих в условие абсолютной инвариантности (IX. 17), требуется выполнить операцию идеального дифференцирования, что практически недостижимо. Не следует думать, что если можно выполнить дифференцирование весьма близко к идеальному, то и условия абсолютной инвариантности будут «почти точно выполнены», что практически нас бы всегда устраивало.

Но при этом возможна ошибка принципиального характера. Суть дела заключается в том, что сколь угодно малое отклонение от идеальности приводит к такому же, хотя и малому, но существующему отклонению от условия абсолютной инвариантности (IX. 17), а при перекомпенсации, даже если она очень мала, система может стать «негрубой» по определению А. А. Андронова. Иначе говоря, это означает, что в соответствующих характеристических уравнениях могут появиться малые отрицательные члены, порождающие неустойчивость системы.

Противоречие между условиями инвариантности и условиями устойчивости остается до тех пор скрытым, пока принимается предположение о существовании идеальных дифференциаторов. Но если только отказаться от идеализации такого рода, сразу же возникают неустранимые для системы с одним регулируемым параметром (созданной на основании принципа регулирования по отклонениям) противоречия между требованиями устойчивости и инвариантности.

Для того чтобы выяснить причину этих противоречий, рассмотрим вопрос об устойчивости системы автоматического

регулирования, описываемой дифференциальными уравнениями (IX.20). Характеристическое уравнение этой системы имеет вид

Если бы условие абсолютной инвариантности (IX. 17) могло быть выполнено точно, то первый из определителей второго порядка, стоящих в правой части выражения (IX.23), был бы равен нулю и для выяснения вопроса об устойчивости системы следовало бы анализировать вырожденное характеристическое уравнение

возникающее при раскрытии второго из определителей правой части уравнения (IX.23). В этом случае, выбирая соответствующим образом коэффициенты операторов, входящих в выражение (IX.24), можно было бы всегда обеспечивать устойчивость системы. Если же условие абсолютной инвариантности выполнено не идеально точно, то первый из определителей правой части выражения (IX.23) породит одну группу слагаемых, а второй определитель — вторую. При подстановке в выражение (IX.23) значений операторов возможны два случая:

полиномы первой и второй группы слагаемых будут одного порядка относительно оператора

в полиноме первой группы слагаемых имеются члены более высокого порядка, чем в полиноме второй группы.

Во втором случае в характеристическое уравнение войдут малые параметры т. е. значения скалярных соотношений, определяемых условиями абсолютной инвариантности (IX.18) при неточном их выполнении, и уравнение (IX.23) будет иметь вид полинома с малыми параметрами при старших членах. Опасность появления в характеристических уравнениях малых параметров состоит в том, что исходная динамическая система может стать «негрубой» при малых флуктуационных изменениях этих параметров и ее основные свойства будут качественно изменяться (например, система может стать неустойчивой, если хотя бы один из малых параметров будет отрицательной величиной). Поэтому «негрубые» системы не могут быть практически использованы.

Противоречие между условиями инвариантности и устойчивости появляется именно вследствие того, что, приближаясь к условию абсолютной инвариантности (при перекомпенсации), система может стать «негрубой». Поэтому и возникает задача

отбора динамических систем, которые при выполнении условия абсолютной инвариантности не превращаются из «грубых» в «негрубые». Ниже этот вопрос будет освещаться более детально, а сейчас рассмотрим вопрос о физическом смысле самого условия абсолютной инвариантности или, иначе, о физическом смысле акта полной компенсации действия внешнего возмущения, как называл его Г. В. Щипанов. Вернемся для этого вновь к системе регулирования, описываемой уравнениями (IX.20). Из структурной схемы системы, приведенной на рис. видно, что регулятор создает воздействие на объект регулирования у, изображение которого по Лапласу будет иметь вид

Найдем значение разрешив для этого систему уравнений (IX.20) относительно предположив, что

где

В этих выражениях и — миноры, соответствующие элементам определителя

Подставив найденные выражения для и в уравнение (IX.26), определим значение и перепишем выражение (IX.25) в виде

Если теперь учесть условие абсолютной инвариантности относительно в виде то из последнего выражения получим

Из выражения (IX.30) видно, что динамический смысл условия абсолютной инвариантности заключается в том, что регулятор создает воздействие на объект, в точности равное внешнему

воздействию на него, но противоположно направленное. В этом и заключается акт полной компенсации возмущений.

Возможны постановки задач инвариантности, когда учитывается действие внешних возмущений не только на объект регулирования, но и на элементы регулятора. При этом уравнения, описывающие динамические свойства системы, имеют прежний вид [см. выражение (IX. 1)] и задача ставится, например, о достижении независимости одной из координат относительно всех внешних возмущений или о достижении инвариантности всех координат относительно одного какого-либо из возмущений. Такие задачи называются задачами полиинвариантности. В работе [10] показано, что можно достичь абсолютной инвариантности одной координаты, если все относительно не более, чем возмущений, где — порядок системы (IX: 1), или, аналогично, можно достичь инвариантности только координат относительно какого-либо из возмущений. Это утверждение можно доказать, воспользовавшись основными свойствами характеристического уравнения системы (IX. 1), записав его определитель в виде выражения (IX.7), где индекс заменен на Разложим этот определитель, например, по элементам первого столбца:

где — алгебраические дополнения определителя (IX.7), соответствующие элементам

Для достижения абсолютной инвариантности координаты относительно возмущения необходимо, чтобы для обеспечения независимости от необходимо, чтобы

Если требуется обеспечить инвариантность координаты относительно каких-либо внешних возмущений, например, относительно всех, кроме возмущения , то, после учета всех условий инвариантности из выражения (IX.31), получим

Так как принято, что все то и Поэтому соотношения (IX.32) следует, что должно быть чего допустить нельзя, так как в этом случае полностью вырождается определитель (IX.7), т. е. система уравнений становится особой и будет или несовместной, или неопределенной. Таким образом и приходят к утверждению о том, что можно достичь абсолютной инвариантности относительно не более чем внешних возмущений. В этом случае вместо соотношения (IX.32) получим; например,

что уже может быть обеспечено при и .

Если разложить определитель (IX.7) по элементам первой строки, то получим

Для достижения инвариантности относительно как уже говорилось, необходимо, чтобы Для обеспечения независимости от требуется, чтобы Поэтому, рассуждая так же, как и ранее, приходим к выводу, что инвариантность всех координат относительно получить нельзя, а возможно только лишь достижение независимости координат относительно возмущения

В работе [10] рассмотрена возможность получения независимости координат от одного внешнего возмущения и одной координаты относительно внешнего возмущения при условии, что не все

Во всех предыдущих случаях предполагалось, что внешнее возмущение, действующее на объект регулирования, или помеха, действующая на какой-либо из элементов регулятора, являются неизвестными и произвольно изменяющимися функциями времени. Вполне естественной является постановка вопроса о том, что значительно проще достичь инвариантности той или другой координаты относительно соответствующего возмущения, если оно является известной функцией времени.

Задача инвариантности относительно функционально заданного возмущения впервые была поставлена в работе [15]. В ней, были рассмотрены примеры решения задач инвариантности для следующих случаев действий внешних возмущений: (где — константы), Случаи, когда возмущение имеет вид единичного скачка, т. е.

детально проанализированы в работе [3].

В самом общем виде проблема инвариантности при функционально заданных возмущениях была рассмотрена В. С. Кулеба: киным на основе -преобразования [8].