ГЛАВА VI. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Параметры систем автоматического регулирования изменяются в зависимости от условий окружающей среды (температура, давление, влажность, вибрации), времени работы или времени хранения агрегатов систем до их установки, на постоянную эксплуатацию.
Большое влияние на изменение параметров оказывают режимы работы систем регулирования и устанавливаемые данные настройки. Кроме того, - при изготовлении систем не удается получить одинаковые параметры у агрегатов из-за разброса допусков на изготовление и изменение технологических режимов.
В условиях эксплуатации происходят изменения параметров, которые можно условно разделить на три группы:
фиксированные отклонения, характерные для единичной системы автоматического управления;
случайные изменения параметров системы во времени;
случайные отклонения параметров совокупности одинаковых систем от номинального значения.
Изменения параметров существенно влияют на динамические характеристики и точность. Средние значения, дисперсии и корреляционные функции выходного сигнала или ошибки воспроизведения полезного сигнала складываются из соответствующих значений в системе с постоянными параметрами (при номинальных значениях параметров) и дополнительных составляющих, возникающих из-за отклонений параметров от номинальных значений.
Исследование систем, в которых имеются отклонения первой группы, успешно может быть выполнено методами теории чувствительности.
Применение этих методов позволяет вместо обычно применяемых интегральных уравнений получить конечные соотношения и тем самым выявить аналитические зависимости для статистических характеристик рассматриваемых сигналов.
1. ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Функции чувствительности характеризуют влияние отклонения параметров от номинальных значений на изменение выходного сигнала системы. Предположим, что система с номинальными параметрами имеет сигнал на выходе 
Если один из параметров системы отклоняется от номинального значения на величину а, то выходной сигнал 
будет функцией а. Для малых значений а реакция системы 
может быть разложена в ряд Тейлора
Коэффициент линейного члена ряда (VI. 1) называется функцией чувствительности. Обозначим ее 
При решении некоторых задач ограничение ряда (VI. 1) первыми двумя членами является недостаточным, поэтому при рассмотрении вводятся функции чувствительности более высокого порядка, например, второго:
Для определения функций чувствительности системы нет необходимости определять реакцию системы 
и затем дифференцировать ее по а. Они могут быть непосредственно определены по дифференциальным уравнениям системы путем перехода к уравнениям чувствительности [1], [6]. Для линейных систем с постоянными параметрами весьма эффективным является применение преобразования Лапласа.
Рассмотрим определение уравнений чувствительности. В общем случае динамическая система 
порядка, в которой к параметров могут испытывать отклонения от номинальных значений, описывается системой дифференциальных уравнений
где 
Эти уравнения являются общими. В зависимости от вида функций 
они могут описывать линейные и нелинейные системы с постоянными или с переменными параметрами.
Система с номинальными значениями параметров описывается дифференциальными уравнениями
причем очевидно, что
Решение уравнений (VI.4) дает значения переменных 
как функции от времени и всех величин а. Для малых значений а можно представить реакцию 
а в виде
где 
— реакция системы с номинальными значениями параметров, определяемая решением уравнений (VI.5);
— функция чувствительности реакции системы 
к отклонению параметра 
Уравнения для определения функций чувствительности могут быть найдены следующим образом. Продифференцируем уравнения (VI.4) по 
в результате получим систему
где 
При 
на основании уравнения (VI.6) можно записать
Уравнения (VI.9) справедливы при всех значениях 
и 
поэтому, подставив в них соотношения (VI. 10) и 
полученные при 
получим
где 
С помощью уравнений чувствительности (VI. 12) можно непосредственно найти функции 
минуя дифференцирование 
по параметрам 
Отметим некоторые особенности уравнений чувствительности (VI. 12). Если анализируемая система описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, то уравнения чувствительности также линейные с постоянными коэффициентами, отличающиеся от уравнений системы лишь неоднородными членами. Дифференциальному уравнению системы
соответствует уравнение чувствительности
В уравнении (VI. 13) а — отклонение коэффициента при свободном члене от номинального значения.
Для исходной линейной системы с переменными коэффициентами уравнения чувствительности также являются линейными уравнениями, но с другими неоднородными членами. Если уравнения исследуемой системы нелинейны, то уравнения чувствительности являются линейными с переменными параметрами, так как и зависят от 
Так, например, уравнению Ван-дер-Поля
соответствует уравнение чувствительности относительно коэффициента а
Совместное решение исходных дифференциальных уравнений и уравнений чувствительности позволяет определить влияние отклонения параметров на выходной сигнал.
