1. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Функция, значение которой при каждом данном значении независимой переменной является случайной величиной, называется случайной функцией. Таким образом, случайная функция может рассматриваться как бесконечная совокупность

случайных величин, зависящая от одной или нескольких независимо изменяющихся переменных.

Случайные функции, для которых независимой переменной является время t, обычно называются стохастическими процессами. Основы общей теории стохастических процессов были даны в работах А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина.

Случайная функция, зарегистрированная в той или иной форме по результатам опыта, называется реализацией случайной функции. Предположим, что нас интересует поведение большой совокупности одинаковых следящих систем или регуляторов, имеющих с определенной степенью точности одни и те же динамические и статические характеристики.

Рис. 1.1. Ансамбль случайных функций

Будем изучать поведение всей этой совокупности, или ансамбля, макроскоп ически подобных друг другу систем в одних и тех же принимаемых во внимание условиях, регистрируя изменение ошибки каждой системы в функции времени.

В результате мы получим ансамбль случайных функций характеризующих изучаемый стохастический процесс (например, процесс изменения ошибки следящей системы, см. рис. 1.1). Очевидно, что функции в каждый из моментов времени будут иметь, вообще говоря, различные значения , следовательно, будут отличаться друг от друга. Это объясняется различными случайными факторами, например, случайными изменениями параметров и воздействий, которые не могут быть одинаковыми для всех систем.

Функции входящие в ансамбль, характеризующий случайный процесс, могут быть как экспериментальными кривыми, приведенными на рис. I. 1, так и функциями, аналитическое выражение которых известно. В частности, в качестве случайного процесса следует рассматривать совокупность гармонических функций при случайных значениях параметров подчиняющихся трехмерному закону распределения вероятностей.

Итак, статистический метод изучения случайных процессов ставит себе задачей не изучение каждой из функций входящей в совокупность функций, характеризующих этот процесс, а изучение свойств всего множества в целом при помощи усреднения свойств входящих в него функций.

Таким образом, применяя этот метод к анализу, например, радиоприемника или системы автоматического регулирования, мы получаем возможность судить о их поведении не по отношению к какому-либо одному определенному воздействию, представляющему заданную функцию времени, а о их поведении (в среднем) по отношению к целой совокупности воздействий. Очевидно, что это может быть весьма существенно, так как при проектировании систем, служащих для передачи сигналов, необходимо учитывать, что они должны достаточно эффективно работать не только при каком-либо определенном «пробном» или «испытательном» воздействии, но и при воздействиях, изменяющихся по самым различным законам.

Рис. 1.2. Первая функция распределения

Рассмотрим некоторый фиксированный момент времени Стохастический процесс в этот момент характеризуется совокупностью значений случайной величины

Но статистические свойства случайной величины, как известно, определяются ее функцией распределения или плотностью распределения, которые в случае стохастических процессов являются не только функциями случайной величины х, но и момента времени ее наблюдения (рис. I. 2).

Функция распределения называемая первой функцией распределения, определяет вероятность того, что значения функций в некоторый фиксированный момент времени не превышают заданного числа х:

Соответствующая плотность распределения вероятности определяется равенством

Рассмотрим случайные величины относящиеся к двум моментам времени и наблюдения стохастического процесса. Их совместная функция распределения

называется функцией распределения второго порядка. Ей соответствует плотность распределения

Функцией распределения порядка называется функция

Стохастический процесс статистически определен, если известны его функции распределения порядка (1.5) для любого и любых

Плотность распределения порядка

процесса можно найти, продифференцировав функцию распределения по всем переменным При анализе случайных процессов наибольшее значение имеет так называемое нормальное распределение. Анализ условий возникновения нормального распределения показывает, что оно имеет место во всех тех случаях, когда случайная величина (или случайная функция) характеризует суммарный эффект большого числа независимых величин. Поэтому нормальное распределение весьма часто встречается на практике.

Нормальная плотность распределения первого порядка определяется выражением

нормальная плотность распределения второго порядка

Для характеристики случайных процессов часто пользуются понятием моментов.

Моментом порядка случайной функции называется выражение

а ее центральным моментом порядка — выражение

где М — математическое ожидание.

Если известна плотность распределения порядка, то можно найти все моменты случайной функции до порядка включительно. Действительно, зная можно определить первый момент

Далее, зная можно найти момент второго порядка

а также момент первого порядка поскольку

Если приходится иметь дело не с одной, а с несколькими взаимосвязанными случайными функциями, то, кроме их собственных моментов (1.8), приходится вводить еще и их смешанные или взаимные моменты. Так, например, если имеются две случайные функции то простейшим взаимным моментом является момент второго порядка

Рассмотрим несколько первых моментов случайной функции, наиболее часто применяемых при практических расчетах.

В соответствии с общим выражением (1.8) моментом первого порядка, или математическим ожиданием, стохастического процесса называется интеграл (1.10), определяющий среднее значение для любого

Автокорреляционной, или, просто, корреляционной, функцией называется момент второго порядка случайной функции т. е.

Центрированной, или несмещенной, корреляционной функцией называется центральный момент второго порядка случайных величин т. е.

Очевидно, что

Дисперсией случайного процесса называется математическое ожидание квадрата отклонения от т. е.

Полагая в выражении и сравнивая с выражением (1.15), заметим, что

Взаимной корреляционной функцией двух стохастических процессов называется их смешанный момент второго порядка:

Теория стохастических процессов, ограничивающаяся изучением лишь тех их свойств, которые определяются двумя первыми моментами, т. е. математическим ожиданием и корреляционной функцией называется корреляционной теорией. Корреляционная теория случайных процессов во многих случаях удобна для практического применения, так как:

1) функция распределения, или плотность распределения, случайного процесса с нормальным или гауссовым законом распределения полностью определяется для любого математическим ожиданием и дисперсией

2) задание математического ожидания и корреляционной функции воздействия на входе любой стационарной или нестационарной линейной системы, как это будет показано в дальнейшем, достаточно для точного определения математического ожидания и корреляционной функции величины на ее выходе.

При анализе нелинейных систем иногда оказывается необходимым вводить в рассмотрение функции распределения и плотности распределения, а также моменты случайных функций более высокого порядка.