5. Д-РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Д-разбиение по одному комплексному или паре действительных параметров строится аналогично правилам, изложенным ранее (см. гл. XIII кн. 1). Ниже приведены особенности Д-разбиения для систем с запаздыванием [1].

Рассмотрим Д-разбиение по передаточному коэффициенту К. Уравнение для построения кривой Д-разбиения, которую мы будем обозначать через в параметрической форме имеет следующий вид:

При изменении от 0 до переход корней уравнения через мнимую ось слева направо соответствует переходу точки К через кривую Правило штриховки кривой остается прежним (штрихуем левую сторону кривой N). Переход корня через мнимую ось слева направо соответствует в плоскости К переходу через с левой стороны кривой на правую. Особенность кривой Д-разбиения по К в данном случае состоит в том, что кривая с изменением от до содержит участок, котором она сматывается с некоторой окружности, а потом вновь на нее наматывается (рис. XI.13). Уравнение этой окружности можно получить, если приравнять нулю коэффициенты при старших степенях в уравнении (XI.46):

где наибольшая из степеней полиномов коэффициенты при степени этих полиномов.

Д-разбиение выполнено на области с разным числом корней на правой полуплоскости. Внутренняя часть окружности соответствует наличию бесконечного числа корней справа от мнимой оси, а ее внешняя область будет также представлять области Д-разбиения.

Для определения значения К, при котором система устойчива, следует сначала найти область, в которой определяется, сколько корней справа имеет соответствующее уравнение

Для этого используем точку т. е. полином когда известно Д-разбиение для системы без запаздывания

Рис. XI. 13. Д-разбиение плоскости К

Рассмотрим Д-разбиение плоскости параметров и времени запаздывания .

Несмотря на то, что параметр входит в трансцендентное уравнение, границы Д-разбиения получаются относительно простыми. Представим характеристическое уравнение в следующем виде:

При этом уравнения границ Д-разбиения будут

Штриховку на кривой наносим согласно общим правилам; она определяется знаком выражения Кроме кривой на рисунке следует нанести три прямые, соответствующие значениям:

Приведенные уравнения прямых выделяют область соответствующую бесконечному числу корней с положительной действительной частью. Если известно конечное число корней с

положительной действительной частью, то, перейдя к предельной системе по обычным правилам находим точки, соответствующие этим корням. В этом случае область устойчивости определим по числу переходов через кривую

Рис. XI.14. Д-разбиение плоскости

Пример. Имеем характеристический полином системы вида

тогда уравнения кривой будет определяться следующими зависимостями:

а прямых

На рис. Х1.14 показаны эти кривые и прямые. Штриховка кривой определяется знаком

Для определения области найдем вначале область с известным числом корней справа от мнимой оси. Точка соответствует области этом случае область определяется одним переходом через границу (рис. XI. 14).