1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИЕЙ СИСТЕМЫ И ИЗМЕНЕНИЕМ РЕГУЛИРУЕМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРИ ЛЮБОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Обозначим, как обычно, через 
изменение регулируемой переменной 
в системе, вызываемое единичным возмущающим воздействием 
Найдем связь между переходной функцией 
системы и изменением переменной 
при любом воздействии.
Рис. IV.1. Замена произвольной функции 
последовательностью ступенчатых функций
Представим произвольное воздействие 
приложенное к системе в момент времени 
(рис. IV. 1), в виде ступенчатой функции с интервалами по временной оси 
имеющей начальную ординату 
и ступенчатые приращения 
Общий эффект воздействия 
приложенного к линейной системе, может быть вычислен как эффект воздействия 
приложенного в момент времени 
и воздействий 
приложенных в моменты времени 
, где 
Переходный процесс 
в системе, вызываемый воздействием 
приложенным в момент 
можно описать следующим выражением:
Переходные процессы, вызываемые воздействиями 
можно представить в виде
и, следовательно, переходный процесс 
вызванный воздействием в виде ступенчатой функции, на рис. IV. 1 будет определяться выражением
где 
число промежутков 
на которые разбит интервал времени 
С точностью до величин второго порядка малости имеем
Подставляя значения 
в выражение (IV.2), получим
Предельный переход от ступенчатого воздействия 
к непрерывному, очевидно, связан с неограниченным увеличением числа 
промежутков Ат. Сумма, стоящая в правой части уравнения, переходит в интеграл в пределах от 0 до 
Поэтому можно записать
Полученная форма интеграла Дюамеля не вполне приемлема для рассмотрения процессов движения системы под влиянием воздействия, ограниченного по модулю. Действительно, самой постановкой задачи допускаются весьма быстрые изменения воздействия 
и ее разрывы первого рода. При этом производные бесконечны, и интеграл 
перестает существовать. Поэтому целесообразно получить другие формы интеграла Дюамеля, которые более пригодны для дальнейшего исследования. В частности, подходящей является следующая форма интеграла 
полученная при вычислении его по частям:
Учитывая, что 
имеем
или
