4. ДИСКРЕТНЫЙ ВО ВРЕМЕНИ «БЕЛЫЙ» ШУМ

При исследовании динамики дискретных систем при случайных воздействиях, так же как и непрерывных систем, широко используется понятие „белого" шума. Дискретный во времени „белый" шум математически определяется как такой дискретный случайный процесс, спектральная плотность которого сохраняет постоянное значение на всех частотах:

Корреляционная функция такого процесса

где

Иначе дискретный во времени «белый» шум определяется как такой дискретный случайный процесс, в котором можно

пренебречь значениями корреляционной функции для Очевидно, что

где — дисперсия дискретного во времени „белого" шума.

Так как в большинстве случаев дискретный случайный процесс получается из соответствующего непрерывного случайного процесса дискретной выборкой, то всегда интересуются связью непрерывного и дискретного „белого" шума. В соответствии с формулой (XIV.92) уровень дискретного во времени „белого" шума равен произведению интервала дискретности на дисперсию дискретного процесса, которая равна дисперсии соответствующего непрерывного процесса. Нетрудно убедиться, что для „белых" шумов установить такую связь невозможно, так как дисперсия математического непрерывного „белого" шума равна бесконечности (см. гл. XIII).

Рис. XIV.16. Определение спектра непрерывного «белого» шума

На практике чаще имеют дело с физическим (непрерывным или дискретным во времени) „белым" шумом. Непрерывный стационарный случайный процесс можно считать физическим „белым“ шумом по отношению к данной системе, если в пределах полосы пропускания по частоте этой системы его спектральная плотность сохраняет постоянное значение или если за время, когда его корреляционная функция отлична от нуля, импульсная переходная функция системы сохраняет постоянное значение (рис. XIV. 16, а и б).

Очевидно, что за уровень непрерывного „белого" шума в этом случае следует принимать значение спектральной плотности входного сигнала на нулевой частоте:

Физический дискретный „белый" шум по отношению к данной дискретной системе определяется как такой дискретный случайный процесс, спектральная плотность которого сохраняет постоянное значение в пределах полосы пропускания дискретной системы (рис. XIV. 17).

В данном случае формула (XIV.83) перепишется в виде

где

уровень дискретного „белого" шума. Учитывая формулы (XIV.7) и (XIV.4), выражение (XIV.95) можем переписать в виде

или

Эти формулы являются исходными для определения уровня дискретного „белого" шума. Можно рекомендовать три способа вычисления значения со по заданной графически или аналитически корреляционной функции или спектральной плотности соответствующего непрерывного случайного процесса.

Рис. XIV.17. Кривые спектральной плотности дискретного входного сигнала и модуля частотной характеристики системы для случая физического дискретного «белого» шума

При графическом вычислении уровня дискретного „белого" шума используют следующую формулу:

Аналитически же это суммирование выполнить достаточно трудно.

При вычислении уровня дискретного „белого" шума, соответствующего непрерывному процессу, также можно применять следующую формулу:

Если известна корреляционная функция непрерывного процесса, то используют формулу

На вход непрерывной системы воздействует случайный процесс, который можно считать по отношению к данной системе „белым" шумом (рис. XIV. 18, а).

Рис. XIV.18. Кривые спектральной плотности входного сигнала и модуля частотной характеристики системы для случаев: а — непрерывные входной сигнал и система; б — дискретный входной сигнал и непрерывная система; в — дискретные входной сигнал и система

Введем интервал дискретности и будем его увеличивать. Вначале система останется непрерывной, кривые смещенных частотных характеристик системы не перекрываются, а входной сигнал станет дискретным во времени

раньше, так как его кривая спектральной плотности шире, и смещенные кривые будут при более малом перекрываться (рис. XIV. 18, б). В данном случае на вход непрерывной системы воздействует дискретный „белый" шум. При дальнейшем увеличении интервала дискретности начинают перекрываться частотные характеристики системы (рис. XIV. 18, в), тогда входной сигнал и система — дискретны во времени.

Пример 2. Пусть задана корреляционная функция непрерывного случайного процесса

Спектральная плотность соответствующего дискретного случайного процесса имеет вид

где

Откуда

Для определения уровня дискретного „белого" шума по формуле примем или . В этом случае получим

Подставляя выражения для коэффициентов получим

Точно такое же выражение можно получить, используя формулу (XIV.100). Нетрудно убедиться, что при выражение (XIV. 101) переходит в значение спектральной плотности соответствующего непрерывного процесса

Если корреляционная функция соответствующего непрерывного процесса то значение уровня дискретного физического „белого" шума определяется по формуле

которая получена из выражения (XIV. 101), если в нем положить