4. ЭРГОДИЧНОСТЬ

Случайный процесс называется эргодическим в самом общем смысле, если все его статистические свойства могут быть определены по одной единственной реализации Эргодическим можно также назвать такой процесс, для которого средние значения по времени равны средним значениям по ансамблю.

Один и тот же процесс эргодический по отношению к одним параметрам или характеристикам может быть не эргодическим по отношению к другим. Нас будут интересовать прежде всего условия эргодичности для математического ожидания и центрального момента второго порядка, т. е. корреляционной функции. Среднее значение по времени для случайного процесса равно

Очевидно, что случайная величина. Так как для стационарного процесса есть постоянная величина, то

причем дисперсия случайной величины определяется интегралом вида (1.43), т. е.

Поэтому, если дисперсия стремится к нулю при то среднее значение по времени равно среднему по ансамблю. Итак,

только в том случае, когда

Равенство (1.47) можно рассматривать как критерий эргодичности для математического ожидания

Условие (1.47) эквивалентно равенству

При решении вопроса о погрешности при замене через х может оказаться полезным также следующее замечание.

Предположим, что мы располагаем одной единственной реализацией случайного процесса на интервале . Тогда вероятность того, что абсолютное значение разности будет меньше заданного числа в, определяется на основании неравенства Чебышева, при помощи соотношения

Рассмотрим теперь выражение

При этом справедливо также следующее равенство:

Далее пусть

тогда

и

Учитывая выражение (1.43), можно сделать следующий вывод.

Для данного X

только в том случае, если

Равенство (1.56) можно рассматривать как критерий эргодичности для корреляционной функции

Необходимо подчеркнуть, что проверка условия эргодичности для математического ожидания требует знания лишь . В то же время проверка условия эргодичности для корреляционной функции требует знания моментов четвертого порядка вида (1.54).