7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПО СОВОКУПНОСТИ ПАРАМЕТРАМИ

На основе общих соотношений, полученных в предыдущих параграфах для систем, параметры которых являются случайными функциями времени, может быть решена задача исследования динамической точности и определения статистических характеристик сигналов в системах, у которых параметры являются случайными по совокупности, т. е. имеют случайные отклонения от номинального значения, определяемые полями допусков. Исследование выполняется с использованием интегральных уравнений для систем со случайными параметрами и решений на основе методов теории чувствительности. Такого рода подход позволяет установить связь методов исследования систем со случайными параметрами с методами теории чувствительности. Решение задачи проводится для общей структурной схемы (рис. VI. 12) при тех же предположениях, что и в § 2 настоящей главы. При этом случайные функции заменяются случайными величинами с известными дисперсиями, т. е. предполагается, что

где — средние значения параметров;

— случайные отклонения параметров от номинального значения (предполагается также, что входные сигналы некоррелированы со случайными отклонениями параметров).

Пользуясь схемой (рис. VI.12) и формулами (VI.86) и (VI.87), запишем выходной сигнал системы и сигнал на входе (VI.87) -элемента в виде

Учитывая выражения (VI. 123) и (VI. 124), а также уравнения (VI.88)-(VI.90), запишем среднее значение выходного сигнала

где

Эти результаты получены в предположении, что в уравнениях (VI.88)-(VI.90)

где — коэффициент корреляции;

— среднеквадратическое отклонение.

Решая уравнения (VI. 125)-(VI.126), находим среднее значение выходного сигнала. При стационарных случайных воздействиях решение может быть выполнено с помощью преобразования Лапласа:

На основании уравнения (VI.92) и выражения (VI.127) запишем корреляционную функцию выходного сигнала:

где определяется уравнением

Таким образом, используя уравнения (VI.126), (VI.130) и (VI. 131), находим корреляционную функцию и дисперсию выходного сигнала. Перейдем к приближенному определению статистических характеристик выходного сигнала с применением методов теории чувствительности.

На основании выражения (VI. 103) среднее значение выходного сигнала в системах данного класса запишется в виде

С целью облегчения построения среднего значения выходной величины в переходном режиме может быть использовано преобразование Лапласа. С учетом соотношения (VI. 104) равенство (VI. 132) преобразуется следующим образом:

Корреляционная функция выходного сигнала на основании выражения (VI. 113) имеет вид

Если случайные отклонения параметров не коррелированны между собой, т. е. при то формулы (VI. 133), (VI.134) значительно упрощаются:

Если неслучайные воздействия равны нулю, а случайные сигналы являются стационарными и все случайные функции между собой некоррелированы, то спектральная плотность выходного сигнала определяется соотношением

где

Перейдем к рассмотрению связи между результатами, полученными с использованием общих интегральных уравнений, описывающих поведение систем данного класса, и методами теории чувствительности. Для простоты и большей наглядности рассмотрим систему, содержащую один случайный параметр. При этом, учитывая интегральные уравнения (VI. 125) и (VI. 126), запишем средние значения выходного сигнала

где

Полученная система уравнений решается с помощью преобразования Лапласа и приводится к следующему виду:

Формула (VI. 140) для среднего значения, полученная методами теории чувствительности, принимает следующий вид:

или

Преобразуем формулу (VI. 142) следующим образом:

Отбрасывая последний член, имеющий второй порядок малости, получим формулу (VI. 144), которая была выведена на основании методов теории чувствительности.

Если на систему с одним случайным параметром действуют только стационарные случайные входные сигналы не коррелированные между собой, то система интегральных уравнений (VI. 130) и (VI. 131) запишется следующим образом:

Эта система уравнений решается путем перехода к спектральным плотностям

Спектральные плотности сигналов в системе с постоянными параметрами определяются формулами (VI. 138) и (VI. 139). В результате алгебраических преобразований формулы (VI. 148) получим

Третье слагаемое в последней. формуле имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя. Отбрасывая его, получим приближенное выражение для спектральной плотности:

которое точно совпадает с значением спектральной плотности, полученным на основании методов теории чувствительности (VI. 137).

Рис. VI. 14. Структурные схемы определения статистических характеристик сигналов: а — среднего значения; б — спектральной плотности

По выражениям для среднего значения (VI. 144) и спектральной плотности (VI. 150) можно составить структурные схемы для расчета и экспериментального определения статистических характеристик выходного сигнала. С этой целью указанные характеристики удобно записать в виде

которым соответствуют схемы, приведенные на рис. 14, а и б.