11. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО АМПЛИТУДНО-М0ДУЛИР0ВАННОГО СИГНАЛА

В следящих системах переменного тока различные усилительные, корректирующие и преобразующие цепи переменного тока часто работают при наличии помех, действующих вместе с полезным амплитудно-модулированным сигналом. Свойства случайных амплитудно-модулированных воздействий определяются их статистическими характеристиками. При проектировании цепей переменного тока, работающих при наличии помех, также приходится решать статистическую задачу оптимальной фильтрации сигналов с точки зрения минимальной загрузки усилительного тракта. Пусть на входе идеального модулятора действует стационарный случайный сигнал Напряжение на выходе модулятора им является процессом нестационарным, так как его одномерное распределение пропорционально т. е. зависит от времени. Среднее для нестационарного процесса,

рассматриваемого как функция двух переменных, определяется в результате двухкратного усреднения случайной величины — по множеству и по времени. В результате этого определяют среднюю функцию корреляции и среднюю спектральную плотность нестационарного случайного процесса. Между этими функциями, так же как и для эргодического стационарного процесса, справедлива связь в виде

и обратное преобразование

Составим произведение

Усреднив последнее по множеству, получим

где — корреляционная функция стационарного случайного сигнала

После усреднения по времени в квадратных скобках остается только второй член. Окончательно для средней функции корреляции получим

Средняя спектральная плотность процесса

т. e. спектр модулированного колебания состоит из двух боковых полос, повторяющих спектр модулирующего процесса и расположенных симметрично относительно несущей частоты Следовательно, обычное строение спектра амплитудно-модулированного

колебания сохраняется и в том случае, когда модулирующая функция является случайной. В более общем случае амплитудно-модулированный сигнал запишется в виде

где — стационарные случайные функции с математическими ожиданиями, равными нулю. В работе [1] доказано, что при ширине спектра модуляции значительно меньшей несущей частоты стационарные случайные функции обладают следующими статистическими свойствами:

1) взаимная корреляционная функция между этими величинами

2) автокорреляционные функции случайных величин. между собой равны, т. е.

Функция является нормированной автокорреляционной функцией, или коэффициентом корреляции. Из уравнения (XII. 152) следует, что

т. е. дисперсии случайных функций также между собой равны. На практике имерт место обычно квазимонохроматические сигналы, у которых функции медленно изменяются со временем по статистическим законам. Вычислим теперь корреляционную функцию амплитудно-модули-рованного сигнала

При имеем

что определяет физический смысл постоянной Корреляционной функции соответствует функция спектральной плотности

Функция спектральной плотности квазимонохроматического сигнала

Используя для формулу Эйлера, перепишем уравнение (XII. 157) в виде

При этом следует иметь в виду, что функции являются медленно меняющимися функциями по сравнению с Спектральная плотность согласно формуле (XII.158), имеет вид, изображенный на рис. XII. 16, и представляет две боковые непересекающиеся полосы, расположенные при

Рис. XII.16. Спектр квазимонохроматического сигнала

Примем в дальнейшем для конкретности

Рассмотрим теперь оптимальные полосовые фильтры, выделяющие квазимонрхроматические сигналы на фоне белого шума, т. е. помехи со спектральной плотностью Практически постоянство функции имеет место в пределах достаточно большого интервала частот, а при более высоких частотах функция спадает до нуля. Фактически постоянство функции должно соблюдаться в пределах спектра сигнала (см. рис. XI 1.16). Рассмотрим полосовой фильтр, осуществляющий простую фильтрацию при отсутствии корреляционной связи между сигналом и помехой статистически оптимальным образом [2]. Спектральная плотность полезного сигнала согласно уравнению (XII. 158) запишется в виде

откуда

где

Следовательно (см. гл. VII),

Второй этап определения оптимального линейного фильтра заключается в вычислении функции . В данном случае согласно формулам (XII. 159) и (XII. 162) функция имеет вид

Третий этап состоит в вычислении функции Воспользовавшись результатом работы [2], получим

Подставив в формулу (XII.164) выражение (XII.163) и вычисляя интеграл по вычетам в полюсах, лежащих выше контура интегрирования, получим

Отсюда оптимальная частотная характеристика полосового фильтра

Среднеквадратическая ошибка фильтрации вычисляется по формуле

Пренебрегая членами по сравнению с из уравнений (XII.165) и (XII.167) найдем

Полученный фильтр имеет минимальную среднеквадратическую ошибку фильтрации, вычисленную согласно формуле (XII.167).

В том случае, если следящая система, работающая на переменном токе, может быть представлена в виде фильтра низких частот и спектральная плотность входного воздействия ограничена интервалом частот то анализ и синтез такой системы при случайных воздействиях осуществляются с помощью методов, используемых в теории непрерывных систем постоянного тока. На основании того или иного критерия качества определяется оптимальная передаточная функция системы в замкнутом состоянии [6]. Далее согласно уравнению (XII.33) передаточная функция следящей системы в разомкнутом состоянии

При заданной передаточной функции исполнительного устройства функций подбираются так, что при выполнялось равенство (XII.169). Если выбрана и удовлетворяет условию при то из уравнения (XII.169) следует

Используя низкочастотное полосовое преобразование, подставим в правой части равенства (XII. 170) вместо аргумент учитывая, что после несложных образований находим искомую передаточную функцию полосового фильтра по постоянному току в виде

Передаточная функция должна быть ограниченной при всех действительных значениях частоты

Пример. Реализовать оптимальную передаточную функцию

с помощью типовой следящей системы переменного тока, приведенной на рис. XII.4, при Частота питающего тока ), а передаточная функция исполнительного двигателя с учетом внутреннего сопротивления усилителя мгощности

является заданной.

Раньше было показано, что оптимальная передаточная функция по постоянному току полосового фильтра имеет следующий вид:

где

Из уравнения (XII. 46) следует, что в рассматриваемом случае

Осуществить сглаживание сигнала с постоянной времени — за счет полосового фильтра обычно не удается, вследствие требующейся весьма острой настройки фильтра и возможной его расстройки при уходе несущей частоты.

Рис. XII. 17. Полупроводниковый усилитель следящей системы с корректирующим устройством

В связи с этим выбирают постоянную времени достаточно малой. Положив получим откуда . В качестве полосового фильтра используется параллельный колебательный контур, или в самом усилителе предусматривается селективная отрицательная

обратная связь с неострой настройкой на несущей частоте (рис. XII.17). В установившемся режиме при имеем

и

Легко показать, что Величину учтем коэффициентом усиления по скорости Кроме того, что является приемлемым.

Согласно уравнениям (XII.44) и (XII.47) получим

и

откуда

или после подстановки числовых значений параметров

Отсюда

и

Множитель учитывается коэффициентом Передаточная функция разомкнутой эквивалентной следящей системы постоянного тока

На рис. ХII.18 приведены логарифмические амплитудные частотные характеристики оптимальной следящей системы и заданной ее части С помощью этих характеристик определяется амплитудная частотная характеристика корректирующего устройства.

Рис. ХII.18. Оптимальные логарифмические частотные характеристики следящей системы

На том же рисунке показаны амплитудная и фазовая частотные характеристики реализованной следящей системы переменного тока, обладающей запасом устойчивости по фазе, равным 61°, и по амплитуде .

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)