8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ПО РЕАЛИЗАЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Рассмотрим способы определения спектральной плотности по реализации случайного процесса на конечном интервале Понятие спектральной плотности может быть связано с понятием текущего частотного спектра случайного процесса Текущий спектр определяется следующим образом. Пусть при при всех остальных значениях

Тогда текущим спектром называется преобразование Фурье для функции т. е.

В качестве приближенного выражения или оценки спектральной плотности часто применяется формула

Найдем математическое ожидание функции

Произведя замену переменных после преобразований получим

Переходя в последнем выражении к пределу при найдем

Таким образом, математическое ожидание функции при стремится к спектральной плотности

Рис. III.11. Дискретный и сплошной частотные спектры функции

Нужно, однако, заметить, что дисперсия оценки вообще говоря, не уменьшается с ростом Т. Приближенный вид графика функции можно найти, построив линейный частотный спектр периодической функции (см. рис. III, 11, а)

Для этого разложим кривую в ряд Фурье:

где

Мощность, содержащаяся в гармонике, пропорциональна

Для стационарного случайного процесса

и

Для значения частоты можно написать

Очевидно, что дискретный линейчатый частотный спектр периодической функции при превращается в сплошной частотный спектр функции (см. рис. III.11, б).

Для взаимной спектральной плотности процессов соответствующей оценкой является выражение вида

Для значения частоты

где — соответствующие коэффициенты ряда Фурье, текущего частотного спектра процесса

Перепишем формулу (111.84) в виде

где

Интервал необходимо выбирать таким образом, чтобы значения на последующих интервалах и можно было считать независимыми. Тогда каждый из интегралов в правой части выражения (111.89) с равной вероятностью может быть как положительным, так и отрицательным и, следовательно, математическое ожидание суммы всех интегралов стремится к нулю, как это и должно быть согласно формуле (III.85). Дисперсия при постоянном пропорциональна , следовательно, пропорциональна т. е.

где — коэффициент пропорциональности, независимый от но являющийся функцией

Вместо выражения (II 1.90) можно написать

Линии частотного спектра реализации данной продолжительности отстоят друг от друга на расстоянии Число спектральных линий в заданном интервале частот равно а соответствующая им мощность, согласно определению спектральной плотности, определяется измеренным значением Итак,

где суммирование производится по всем спектральным линиям внутри интервала

Но

Следовательно, вместо выражения (II 1.92) можно написать

На основании формул (II 1.91) и (111.94) получим

откуда

и, следовательно,

Согласно центральной предельной теореме, случайные величины при достаточно большом времени наблюдения Т или

при достаточно большом числе членов в формуле (III.89) имеют нормальное распределение, т. е.

Из выражений (II 1.85), (II 1.97) следует, что мощность линии частотного спектра имеет плотность вероятности

Итак, мощность каждой линии частотного спектра является случайной величиной с экспоненциальным распределением. Ее среднее значение равно а дисперсия

Полученный результат показывает, что если оценка значения спектральной плотности производится при помощи измерения только для одной частоты, то вероятная ошибка достигает Поэтому оценку значения необходимо производить, суммируя все составляющие в диапазоне частот в соответствии с выражением (II 1.92). Так как число этих составляющих равно то среднее значение относительной ошибки уменьшается в раз. Итак,

Дальнейшее уменьшение относительной ошибки можно получить с помощью осреднения значений спектральных плотностей Для реализаций

В этом случае

и, следовательно,

Формула (II 1.102) определяет требуемое время наблюдения Т при заданных относительной ошибке числе реализаций и

разрешающей способности по частоте. Заметим, что если имеется только одна реализация, то разрешающая способность по частоте не может быть меньше чем Это означает, что в реализации длинои менее невозможно различить две частотные составляющие, отстоящие друг от друга на

Выше был изложен простейший метод уменьшения дисперсии оценки значения спектральной плотности при помощи формулы (III.100). Он основан на взятии среднего арифметического близких ординат частотного спектра.

Рис. III.12. Получение оценки с помощью метода спектрального окна

Рис. III.13. Влияние ширины спектрального окна на сглаживание спектральной плотности

На практике часто применяется более общий метод, состоящий в сглаживании некоторой весовой функцией

Весовая функция называется функцией спектрального окна. Рис. III.12 иллюстрирует применение способа спектрального окна для получения оценки при Две функции, изображенные на рисунке, перемножаются, а затем их произведение интегрируется. Для того чтобы найти усредненную оценку значения спектральной плотности для некоторой соседней частоты, следует осуществить параллельный перенос функции спектрального окна по оси абсцисс и повторить процесс перемножения и интегрирования.

Выбор надлежащей функции спектрального окна всегда связан с необходимостью обеспечить оптимальное сглаживание, так как если истинная функция спектральной плотности не имеет острых резонансных пиков, то хороший результат можно получить, применяя широкое спектральное окно. Если же такие пики имеются, то ширина спектрального окна должна быть выбрана достаточно узкой, чтобы в результате процесса усреднения эти резонансные пики не исчезли (рис. III. 13).