2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОГО ПО АМПЛИТУДЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА

В системах автоматического управления очень часто встречаются дискретные, или квантованные, по амплитуде сигналы, которые возникают в результате преобразования непрерывного физического сигнала в кодированный сигнал; причем код сигнала (двоичный или какой-либо другой) имеет только дискретные значения, отстоящие друг от друга на уровень квантования. Так же как и в случае квантования по времени будем считать, что дискретный по амплитуде сигнал получается из соответствующего непрерывного (по амплитуде) сигнала.

Допустим, что на вход квантователя (рис. XIII. 11) подается дискретный во времени случайный сигнал не квантованный по амплитуде с плотностью распределения вероятностей первого порядка

Величина у на выходе квантователя может принимать только дискретные значения, кратные шагу квантования, т. е. у представляет собой прерывистую случайную величину.

Рис. XIV.3. Образование функции распределения выходного сигнала квантователя из функции распределения входного сигнала: а — функция распределения вероятности входного сигнала; б — первая разность от функции распределения; в — функция распределения выходного сигнала

Рис. XIV.4. Образование плотности распределения выходного сигнала квантователя из плотности распределения входного сигнала: а — плотность распределения вероятности входного сигнала; б — функция распределения входного сигнала; в — плотность распределения вероятности выходного сигнала квантователя

Вероятность каждого значения равна вероятности того, что входной сигнал квантователя х будет лежать в пределах

или

где — функция распределения вероятности входного сигнала квантователя.

Функция распределения прерывистой случайной величины имеет ступенчатый характер и определяется выражением

где сумма берется по всем для которых удовлетворяется неравенство Очевидно, что функция распределения имеет разрывы (скачки) в точках которые равны соответственно

Для получения плотности распределения вероятности выходного сигнала квантователя необходимо продифференцировать соответствующую функцию распределения вероятности. В результате получим

Суммирование в формуле (XIV. 15), так же как и в соотношении (XIV. 14), осуществляется до целого числа меньшего

Следовательно, плотность распределения вероятности выходного сигнала квантователя получается следующим образом.

Рис. XIV.5. График, на котором показано получение плотности распределения вероятности выходного сигнала по плотности распределения входного сигнала: а — плотность распределения вероятности входного сигнала; б — плотность распределения вероятности выходного сигнал квантователя

По кривой функции распределения входного сигнала (рис. XIV.3, а) строится кривая первой разности этой функции (рис. XIV.3, б). Беря дискретные значения функции с интервалом дискретности , получим плотность распределения вероятности выходного сигнала (рис. XIV.4, в).

Приведенная функция получается, как импульсная модуляция первого типа, без запоминания из функции

Учитывая, что функция распределения вероятности получается из плотности распределения вероятности интегрированием

можно утверждать, что дискретные значения плотности распределения вероятности выходного сигнала квантователя равны соответственно площадям, ограниченным кривой плотности

распределения вероятности входного сигнала, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми

Рис. XIV.6. Процесс получения характеристической функции выходного сигнала квантователя: а — структурная схема получения характеристической функции выходного сигнала по характеристической входного сигнала; б — характеристическая функция входного сигнала; в — характеристическая функция шума квантования, равномерно распределенного в интервале ; г — характеристическая функция выходного сигнала квантователя

Характеристическая функция входного сигнала квантователя определяется как обратное преобразование Фурье от плотности распределения по формуле

С помощью структурных схем операцию получения плотности вероятности сигнала на выходе квантователя можно представить

следующим образом (рис. XIV.6). Вначале сигнал, равный плотности распределения входного сигнала, поступает на интегратор, далее он проходит по двум параллельным каналам, в каждом из которых осуществляется задержка и опережение сигнала на величину После вычитания задержанного сигнала из сигнала опережения получается сигнал разности, который подается на ключ (квантователь по величине На выходе квантователя получается плотность распределения вероятности выходного сигнала. Аналитически это может быть записано в виде

или, перейдя в частотную область, получил

где

Отсюда, учитывая формулу (XIII. 15), получим

В последней формуле

или

Подставляя формулу (XIV.20) в выражение (XIV. 19), получим

или

Характеристическая функция выходного сигнала квантователя графически получается суммированием смещенных функций, вид которых определяется формулой (XIV.20). На основании этого соотношения, используя теорию разомкнутых дискретных систем (см. гл. XIII.5), можно утверждать следующее. Характеристическая функция случайного сигнала на выходе квантователя совпадает с частотной характеристикой дискретного фильтра с запоминающим элементом. Непрерывная часть этого дискретного фильтра имеет частотную характеристику, совпадающую с характеристической функцией входного сигнала квантователя.

Рис. XIV.7. Плотность распределения вероятности и характеристическая функция шума квантования для равномерного распределения в интервале

В отличие от распространенного в теории дискретных систем запоминающего элемента, который удерживает в памяти каждое дискретное значение в виде несимметричного импульса ширины этот элемент памяти запоминает каждое дискретное значение в виде симметричного прямоугольного импульса ширины (рис. XIV.7, а). Для получения характеристической функции сигнала на выходе квантователя необходимо перемножить характеристическую функцию входного сигнала квантователя на спектр запоминающего импульса и взять сумму смещенных спектров произведения. Применяя аппарат -преобразования с запаздыванием, можем написать

где

отсюда

где условно обозначено

или, учитывая формулу (10) приложения III, получим

Поэтому формулу (XIV.23) можно переписать в виде

В приведенных выше выкладках для простоты через и обозначились соответственно преобразования Фурье и Лапласа, а через -преобразование для функции Таким образом z-преобразование с успехом может быть использовано для получения характеристической функции случайного сигнала на выходе квантователя по известной характеристической функции случайного сигнала на входе.

При этом все процессы, в отличие от дискретных во времени систем, рассматриваются зависящими не от времени а от величины сигнала х. Введенная в характеристические функции частота определяет частоту изменения также в зависимости от величины сигнала х, а не от времени

Пример 1. Пусть на входе квантователя действует случайный процесс с экспоненциальным законом распределения вероятности

Требуется определить характеристическую функцию на выходе квантователя Преобразование Лапласа для выражения (XIV. 27) будет

Согласно формулам (XIV.24) и (XIV.25) имеем

С помощью таблиц -преобразования с запаздыванием (см. приложение II) получим

Подставляя последнее выражение в формулу (XIV.25) и учитывая (XIV. 22), получим окончательное выражение для характеристической функции выходного сигнала квантователя

Формулу (XIV.21) иначе можно пояснить следующим образом. Известно, что характеристическая функция суммы

независимых случайных величин равна произведению характеристических функций, соответствующих каждой из случайных величин. Поэтому можно считать, что плотность вероятности сигнала на выходе квантователя равна дискретным значениям плотности вероятности суммы двух случайных сигналов: случайного входного сигнала и сигнала шума квантования с равномерным (в пределах распределением вероятности (рис. XIV.7). Для расчетов влияния квантования по уровню на работу замкнутых дискретных по времени систем удобно сводить процесс квантования к простой добавке к входному сигналу некоторого шума квантования (рис. XIV.8).

Рис. XIV.8. Замена квантователя суммирующим звеном: а — квантователь; б — эквивалентная схема квантователя; в — кривые плотностей распределения вероятности на выхеде квантователя и эквивалентной схемы

Если предположить, что шум квантования не зависит от входного сигнала (последнее не совсем правильно), то различие между двумя схемами (рис. XIV.8, а и б) будет состоять в том, что для квантователя плотность распределения вероятностей выходного сигнала просто равна дискретным значениям кривой плотности распределения вероятности суммы входного сигнала и шума квантования, который распределен по равномерному закону в пределах интервала (рис. XIV.8, б). Если шаг квантования очень мал, так что удовлетворяется условие теоремы квантования Шеннона—Котельникова

где — максимальная частота, выше которой значениями характеристической функции можно пренебречь, то смещенные кривые не перекрываются, и модель квантователя в виде сумматора входного сигнала и шума квантования, имеющего равномерный закон распределения вероятности, дает правильный результат.

Известно [1], что моменты случайной величины равны соответствующим производным от характеристической функции

где - мнимая единица.

Если входная величина квантователя нормирована, то

При удовлетворении теоремы квантования (XIV. 30) перекрытия смещенных спектров не происходит и производная характеристической функции квантованного сигнала в начале координат совпадает со значением производной характеристической функции суммы неквантованного сигнала и независимого шума квантования, имеющего равномерный закон распределения в пределах при , наоборот, если такое равенство производных характеристических функций соблюдается, то можно считать, что условия теоремы квантования удовлетворяются. В этом случае моменты выходных величин на схемах рис. XIV.8, а и б совпадают. Однако в действительности шум квантования целиком зависит от входного сигнала квантователя и определяется им и уровнем квантования . В общем случае характеристики шума квантования могут быть получены следующим образом [15]. Сложив в интервале все участки кривой плотности распределения вероятности (рис. XIV.9), получим

Рис. XIV.9. Образование плотности распределения вероятности квантования из плотности распределения входного сигнала: а — плотность распределения входного сигнала; б — отдельные составляющие «куски» площади, ограниченной кривой плотности распределения вероятности; в — плотность распределения вероятности шума квантования

Для получения характеристической функции шума квантования необходимо взять обратное преобразование Фурье выражения (XIV.32)

Применим формулу свертки в области комплексного переменного.

В результате получим

С помощью формулы (XIV.33) можно уточнить требования к шагу квантования или виду характеристической функции, при которых влияние квантователя сводится к простому добавлению шума имеющего равномерное распределение в интервале Если удовлетворяется ранее упоминавшееся условие обращения в нуль функции при

то в правой части формулы (XIV. 33) от суммы остается один нулевой член

так как предполагается, что плотность распределения нормирована и

Из формулы (XIV. 35) следует, что шум квантования является равномерно распределенной в интервале случайной величиной. Однако, если допустить, что для функции справедливо следующее соотношение:

то от суммы в правой части формулы (XIV.33) по-прежнему остается нулевой член и соотношение (XIV.35) справедливо. Следовательно, даже при условии (XIV.36), которое слабее, чем условие (XIV.34), влияние квантователя также сводится к добавлению шума равномерно распределенного в интервале В этом случае условно будем говорить об удовлетворении теоремы квантования на половину. Разница между приведенными случаями, (Определенными выражениями (XIV.34) и (XIV.36), состоит в том, что при полном удовлетворении условия теоремы квантования [формула (XIV.34)] можно восстановить по характеристической функции (плотности распределения) вероятности квантованного сигнала характеристическую функцию (плотность распределения) входного сигнала квантователя. При удовлетворении

на половину условия теоремы квантования представляется только возможность восстановить моменты случайного входного сигнала по моментам квантованного сигнала.

При расчетах систем автоматического управления обычно пользуются моментами второго порядка случайных сигналов: среднеквадратическим значением, корреляционной функцией. В связи с этим представляет интерес установить количественные зависимости между корреляционными функциями квантованного и неквантованного сигнала. Корреляционная функция равна второй смешанной производной от характеристической функции соответствующей двумерной плотности распределения вероятности [1]:

причем

где — двумерная плотность распределения вероятности. Двумерная плотность распределения вероятности входного сигнала графически может быть представлена в виде некоторой поверхности в трехмерном пространстве. Двумерная плотность распределения сигнала на выходе квантователя будет состоять из двумерных дельта-функций, расположенных по углам квадратов со стороной в плоскости переменных

Рис. XIV.10. Получение двумерной плотности распределения выходного сигнала квантователя по двумерной плотности распределения входного сигнала

Величина дельта-функции равна обьему, ограниченному прямоугольным параллелепипедом, построенным на квадрате со стороной , плоскостью и участком поверхности, соответствующей плотности распределения вероятности на входе квантователя, которая вырезается этим параллелепипедом (рис. XIV.10); причем квадрат на плоскости выбирается в соответствии с конкретным дискретным значением плотности распределения выходного сигнала квантователя. Так, для получения значения в начале координат необходимо выбрать квадрат, определяемый соотношениями

Значение функции при равно соответствующему обьему, причем квадрат на плоскости выбирается со сторонами

Функция распределения квантованного сигнала

графически представляет ребристую, ступенчатую поверхность, сложенную из плит разной высоты и ограниченных с двух сторон полубесконечными плоскостями, которые пересекаются под прямым углом. Линия пересечения совпадает с вертикальной прямой, проходящей через точку

Если с помощью формулы (XIV.38) взять преобразование Фурье от двумерной плотности распределения вероятности, то выражение для характеристической функции квантованного сигнала будет иметь следующий вид:

При этом учитывается, что если имеется двумерная дискретная функция

то ее обратное преобразование Фурье будет равно двойной сумме функций

смещенных по осям на причем перед двойной суммой аналогично формуле (XIV. 19) следует поставить множитель Графически функция, описываемая формулой (XIV.39), изображается как сумма поверхностей характеристических функций входного сигнала, которые смещены вдоль обеих осей на величины

На рис. XIV. 11 показана проекция сечения этой поверхности на каком-то уровне.

В отношении двумерной характеристической функции квантованного сигнала справедливы утверждения, аналогичные тем, которые применялись к одномерной характеристической функции этого сигнала.

Рис. XIV.11. Проекция сечения двумерной характеристической функции выходного сигнала квантователя на плоскости

Рис. XIV.12. Двумерная плотность распределения шума квантования, равномерно распределенного в интервале

Так, если условия двумерной теоремы квантования удовлетворяются полностью, т. е. двумерная характеристическая функция входного сигнала равна нулю при

или наполовину, когда функция равна нулю при

то в двоичной сумме в правой части формулы (XIV.39) остается только один нулевой член при Это значит, что квантователь эквивалентен сумматору, в котором к входному сигналу квантователя добавляется шум квантования, статистически независимый от входного сигнала и имеющий равномерный в пределах двумерный закон распределения вероятности (рис. XIV. 12).

В общем случае шум квантования статистически зависит от входного сигнала. Аналогичными одномерному случаю рассуждениями можно показать, что двумерная плотность распределения вероятности шума квантования равна нулю вне квадрата и может быть получена суммированием в этом квадрате смещенных в направлении обеих осей на величины соответственно поверхностей двумерной плотности распределения

вероятности входного сигнала. В связи с этим двумерная характеристическая функция шума квантования определяется формулой

Из приведенной формулы следует, что при удовлетворении полностью или наполовину двумерной теоремы квантования шум квантования статистически не зависит от входного сигнала и имеет равномерный двумерный закон распределения.

В большинстве случаев на вход квантователя действуют случайные сигналы, имеющие нормальные законы распределения первого и второго порядка. Это имеет место в замкнутых следящих системах, когда квантователь установлен после измерительного звена, а за ним поставлен низкочастотный фильтр, который в соответствии с принципом суперпозиции и предельной теоремой теории вероятности выполняет так называемый процесс нормализации любого случайного процесса, поступающего на вход этого фильтра [1], [5].

Одномерная плотность распределения вероятности и характеристическая функция для нормального случайного процесса задаются формулами

где — математическое ожидание входного сигнала

Следовательно, математическое ожидание смещает кривую плотности распределения вероятности и вызывает сдвиг по фазе характеристической функции. При обе функции совпадают по виду. Полагая в формуле (XIV.43) и подставляя в соотношение (XIV.21), получим следующее выражение для характеристической функции квантованного нормального сигнала:

Если математическое ожидание входного сигнала равно нулю, то математическое ожидание квантованного сигнала (и шума квантования) тоже равно нулю. При отличном от нуля

математическом ожидании входного сигнала выходной сигнал квантователя также имеет математическое ожидание, но отличное от математического ожидания входного сигнала.

В общем случае первый момент сигнала на выходе квантователя определяется по формуле

Если удовлетворяются хотя бы наполовину условия теоремы квантования, то сигнал распределен по равномерному закону в интервале и в этом случае

Если условия теоремы квантования не удовлетворяются хотя бы наполовину, то математическое ожидание сигнала на выходе квантователя отличается от математического ожидания на входе на величину

В большинстве практических случаев в суммах, определяющих достаточно учитывать только два первых смещенных члена, которые соответствуют так как остальные члены быстро убывают с ростом номера . С учетом только двух смещенных кривых математическое ожидание шума квантования будет определяться по формуле

где — соответственно характеристические функции с учетом математического ожидания и нулевым математическим ожиданием.

В соотношении (XIV.48) предполагается, что характеристическая функция при нулевом математическом ожидании — четная функция

Кроме этого, используется свойство характеристической функции, состоящее в том, что математическое ожидание смещает ее по фазе

Как видно из формулы (XIV.48), ошибка в первом моменте меняется по синусоидальному закону с периодом Если математическое ожидание изменяется в некоторых пределах по

линейному закону от времени, то математическое ожидание выходной величины будет промодулировано синусоидой

Для нормального закона распределения входного сигнала значение максимальной ошибки в математическом ожидании, которое получается при приведено в табл. XIV. 1. Величина ошибки зависит от отношения

Таблица XIV.1

В общем случае дисперсия выходного сигнала определяется по формуле

Если условия теоремы квантования удовлетворяются хотя бы наполовину, то шум квантования не зависит статистически от входного сигнала . В этом случае

Дисперсия сигнала, равномерно распределенного в интервале равна Поэтому в случае удовлетворения теоремы квантования хотя бы наполовину добавка к дисперсии входного сигнала равна

т. е. добавка к дисперсии входного сигнала за счет квантования равна дисперсии шума квантования. Если условия теоремы квантования не удовлетворяются даже наполовину (имеется в виду теорема квантования для одномерного случая), то добавка к дисперсии входного сигнала

не будет равна дисперсии шума квантования

Обозначим ошибку (добавку) к этому значению шума квантования через тогда

При определении величины для случая нормального закона распределения сигнала на входе квантователя необходимо продифференцировать слагаемые в правой части формулы (XIV.44), за исключением нулевого члена, соответствующего Если математическое ожидание входного сигнала равно нулю [15], то все нечетные производные от суммы смещенных кривых равны нулю. Так, первые производные от двух первых смещенных кривых

при одинаковы по величине и противоположны по знаку в точке Это значит, что в случае нормального распределения входного сигнала с нулевым математическим ожиданием квантователь не вносит изменений в нечетные моменты сигнала. Если в формуле (XIV.44) учесть только два добавочных члена с и произвести дифференцирование по формуле (XIV.31), положив при этом то получим следующее выражение для ошибки в дисперсии квантованного сигнала:

На эту величину отличаются дисперсии квантованного и неквантованного сигнала. В табл. XIV. 1 приведены значения ошибки во втором моменте за счет квантователя для случая нормального закона распределения. Аналогичным образом, выполняя дифференцирование в правой части формулы (XIV.33), можно получить соответствующую добавку ко второму моменту шума квантования . При этом производная от нулевого члена дает .

Учитывая только первые два смещенных члена, получим

Для нормального закона распределения и разных отношений значения величины приведены в табл. XIV.1.

При значительном уровне квантования ошибка в математическом ожидании и дисперсии шума квантования составляет и Поэтому справедлива замена квантователя элементом суммирования, в котором к входному

сигналу добавляется шум квантования, равномерно распределенный в интервале

Корреляционная функция сигнала на выходе квантователя определяется по формуле

где

Если или коэффициент корреляции то вместо соотношения (XIV.54) следует пользоваться формулой (XIV.49). При и удовлетворении условия одномерной теоремы квантования членами можно пренебречь. В общем случае, когда это тем более справедливо. Поэтому при соблюдении условий одномерной теоремы квантования (условия двумерной теоремы квантования могут не соблюдаться) ошибка автокорреляционной функции выходного сигнала квантователя совпадает с автокорреляционной функцией шума [4], [15].

Если двумерная плотность распределения вероятности описывается нормальным законом, то

и

где — нормированный коэффициент корреляции входного сигнала, который для стационарного сигнала зависит от т. е.

Для определения автокорреляционной функции выходного сигнала необходимо в соответствии с формулой (XIV. 37) взять смешанную производную от суммы правой части формулы (XIV.39), предварительно подставив в нее выражение (XIV. 56), принимая

В этом случае нулевой член в двойной сумме [формула (XIV.39)] имеет вид

Если слагаемым в двойной сумме дать соответствующую нумерацию (см. рис. XIV.II), то нетрудно убедиться, что вторые производные в начале координат от 1-го и 2-го или от 3-го и 4-го членов одинаковы по величине и противоположны по знаку. Добавка в корреляционную функцию определяется в основном членами 5 и 6, 7 и 8, которые имеют разные знаки, причем члены 5 и 6 вносят значительную добавку при большом положительном коэффициенте корреляции е. когда поверхность корреляционной функции вытянута вдоль биссектрисы прямоугольного угла первой и третьей четверти), а члены 7 и 8 — при большом отрицательном коэффициенте корреляции. Перекрытие этих кривых увеличивается с увеличением уровня квантования и величины коэффициента корреляции.

Рис. XIV.13. Кривые для определения добавок к функции корреляции выходного сигнала

Ошибка в корреляционной функции выходного сигнала квантователя

приближенно с учетом членов суммы может быть подсчитана по формуле

Значение ошибки для каждого конкретного случая может быть определено с помощью кривых (рис. XIV.13) [15]. Для этого ординату кривой, снятую для определенных значений умножают дополнительно на Значение ошибки может быть использовано в качестве корреляционной функции шума квантования при условии, что удовлетворяется одномерная теорема квантования.

Нетрудно показать, что при удовлетворении условий теоремы квантования шум от квантования обладает свойством «белого» шума. Из самой записи двумерной характеристической функции для шума квантования [см. формулу (XIV.41)] следует, что совокупность величин эквивалентна сумме двух независимых одномерных случайных величин имеющих равномерные законы распределения в интервале Другой способ состоит в дифференцировании нулевого члена в формуле (XIV.41) с учетом выражения (XIV.56). Для определения

значения корреляционной функции в нуле (дисперсии) необходимо использовать формулу

где

Подставляя последнее выражение в формулу (XIV.61), получим

В этом случае корреляционная функция выходного сигнала квантователя отличается от входной только значением шума при (рис. XIV.14).

Рис. XIV.14. Корреляционная функция выходного сигнала квантователя для случая, когда шум квантования имеет спектр в виде «белого» шума

Заметим, что рассмотренные выше свойства дискретного по амплитуде случайного сигнала могут быть иначе получены с помощью метода статистической линеаризации. В заключение остановимся на некоторых вопросах выбора уровня квантования.

В реальных схемах на вход квантователя наряду со случайным сигналом поступает полезный регулярный сигнал, который может рассматриваться приближейно, как некоторое математическое ожидание входного случайного сигнала. При этом случайный сигнал с нулевым математическим ожиданием рассматривается как помеха. Необходимо в зависимости от среднеквадратического уровня шума а и допустимой ошибки воспроизведения регулярной составляющей выбрать шаг квантования. Вероятность

превышения случайным сигналом уровня квантования для нормального закона распределения задается формулой

где — интеграл вероятности, для которого составлены таблицы [1]. Если по ним выбрать то вероятность ошибки (неправильного квантования полезного сигнала) будет равна при соответственно и при

Следовательно, с одной стороны, для хорошего воспроизведения полезной составляющей входного сигнала (заданной в виде регулярного сигнала или случайной составляющей) необходимо выбирать уровень квантования малым, а с другой, чем меньше этот уровень, тем больше вероятность выдачи ложного уровня за счет влияния мешающей составляющей, т. е. для уменьшения вредного влияния на процесс квантования мешающей составляющей входного сигнала целесообразно выбирать уровень квантования больше.