5. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ

Постановка задачи. Предположим, что нам задана структурная схема системы автоматического регулирования (рис. VIII. 10), которая состоит из следующих основных частей:

объекта или неизменяемой части, состоящей из двух последовательно соединенных частей, с передаточными функциями

последовательного корректирующего устройства с передаточной функцией

параллельного корректирующего устройства с передаточной функцией шунтирующего звенья объекта, имеющие передаточную функцию

Таким образом, передаточная функция всей системы, разомкнутой в точке измерения ошибки, имеет вид

Далее предположим, что нам заданы желаемая передаточная функция а также передаточные функции в виде аналитических выражений или соответствующих им частотных характеристик.

Рис. VIII. 10. Структурная схема системы автоматического регулирования с последовательным и параллельным корректирующими устройствами

Необходимо определить вид передаточных функций последовательного и параллельного корректирующих устройств, включая численные значения входящих в эти функции параметров, обеспечивающих выполнение равенства

Задача синтеза корректирующих устройств может быть сведена к общей задаче П. Л. Чебышева относительно наилучшего приближения непрерывной функции с помощью рациональной дроби при наличии веса [3]. Задача Чебышева, как известно, формулируется следующим образом. Пусть дан замкнутый, т. е. конечный, интервал значений переменной и две действительные непрерывные в этом интервале функции

Составим выражение

где заданы.

Необходимо найти также вещественные параметры чтобы уклонение функции от было бы наименьшим, т. е.

при

Пользуясь задачей П. Л. Чебышева, поставим задачу синтеза корректирующих устройств.

Рис. VIII.11. Структурная схема системы автоматического регулирования с последовательным корректирующим устройством

Для этого найдем квадрат модуля желаемой (или оптимальной) передаточной функции разомкнутой системы при

В результате мы получим вещественную четную дробно-рациональную функцию от . Положив обозначим эту функцию через Если ввести теперь обозначения

и

то задача синтеза корректирующих устройств, требующая минимума абсолютного значения разности — сводится к сформулированной выше задаче Чебышева.

Синтез последовательных корректирующих устройств. Предположим, что структурная схема следящей системы имеет вид, показанный на рис. VIII. 11. Требуется определить тип последовательного корректирующего устройства и его параметры [1].

Для решения этой задачи синтеза воспользуемся выражением (VIII.38) для передаточной функции которая имеет следующий вид:

Предположим, что обе передаточные функции, входящие в правую, часть равенства (VIII.41), являются минимально-фазовыми, т. е.

тогда

Выражения (VIII.42) показывают, что в рассматриваемом случае логарифмическая фазовая и амплитудная частотные характеристики всей системы соответственно равны сумме фазовых и логарифмических амплитудных характеристик последовательного корректирующего устройства и объекта.

Порядок операций для определения передаточной функции последовательного корректирующего устройства заключается в следующем:

а) строится логарифмическая амплитудная характеристика объекта, т. е. той части системы, схему и параметры которой мы предполагаем заданными;

б) строится желаемая логарифмическая амплитудная характеристика

в) требуемая логарифмическая амплитудная характеристика последовательного корректирующего устройства находится путем вычитания из желаемой характеристики характеристики объекта

г) путем аппроксимации амплитудной характеристики дробно-рациональной функцией или полиномом с требуемой степенью точности одним из известных методов находится желаемая характеристика последовательного корректирующего устройства; при этом заметим, что наивысший порядок передаточной функции корректирующего устройства обычно ограничивается из технических соображений некоторым заданным целым числом. Таким образом, эта задача сводится к классической задаче аппроксимации вещественной неотрицательной функции на конечном интервале четной дробно-рациональной функцией, наименее отличающейся от

д) выбирается схема, корректирующего устройства. Если корректирующее устройство должно представлять собой пассивный RC-контур, то в соответствии с полученной формой характеристики выбираем (см.табл. VIII.3) наиболее подходящий тип и схему такого контура или в более общем случае производим синтез пассивного электрического контура обычными методами, принятыми в теории электрических цепей;

е) производится непосредственная проверка удовлетворения заданных требований при выбранной логарифмической амплитудной характеристике корректирующего устройства.

Пример. Рассмотрим объект с передаточной функцией (VIII.27) и предположим, что желаемая логарифмическая амплитудная характеристика имеет вид, графически изображенный на рис. VIII.5. Вычитая из желаемой

характеристики характеристику найдем логарифмическую амплитудную характеристику показанную на рис. (VIII.6).

По этой амплитудной характеристике найдем передаточную функцию корректирующего устройства в виде

Схема электрического пассивного корректирующего контура, соответствующая данной передаточной функции, может иметь вид, показанный на рис. VIII.12.

Синтез параллельных корректирующих устройств. Часто более удобным является метод коррекции динамических свойств систем автоматического регулирования, основанный на применении параллельных, а не последовательных корректирующих устройств. Существенным преимуществом параллельных корректирующих устройств является то, что они позволяют уменьшить влияние нестабильности и нелинейности характеристик отдельных элементов системы автоматического регулирования (усилителей, электрических машин и т. д.) на динамические свойства всей системы в целом.

Рис. VIII. 12. Электрический пассивный корректирующий контур

Рис. VIII.13. Динамический элемент W: а — не охваченный обратной связью; б — охваченный обратной связью

Рассмотрим влияние изменения параметров элемента системы с передаточной функцией на его выход, когда элемент не охвачен обратной связью (рис. VIII. 13, а) и, наоборот, когда он имеет обратную связь с включенным в нее параллельным корректирующим устройством с передаточной функцией (рис. VIII. 13, б). Для первого случая (рис. VIII. 13, а) имеем

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Далее найдем дифференциал от обеих частей равенства (VIII.43) и определим эффект изменений в на предполагая величину постоянной:

Разделив выражение (VIII.44) на (VIII.43), получим

откуда видно, что изменения величины на выходе (рис. VIII.13, а) прямо пропорциональны величине изменений в передаточной функции.

Рассмотрим теперь схему с обратной связью (рис. VIII. 13,б). В ней связь между величиной на выходе и величиной на входе определяется соотношением

Найдем эффект изменений в на предполагая и неизменными:

Разделив выражение на (VIII.48), получим

Выражение (VIII.48) показывает, что введение обратной связи позволило уменьшить эффект изменений передаточной функции на величину раз. Таким образом, если для интересующего нас интервала частот имеет место неравенство

то изменения в передаточной функции элементов системы, охваченных обратной связью, не будут оказывать сколько-нибудь существенного влияния на работу системы. Однако заметим, что изменения в передаточной функции параллельного корректирующего устройства (рис. VIII. 13, б) существенно влияют на выходную величину.

Действительно, дифференцируя обе части равенства (VIII.46) и считая переменными лишь величины и найдем

Из выражений (VIII.50) и (VIII.46) получим

Если имеет место неравенство (VIII.49), то на основании равенства (VI 11.51) можем написать

Выражение (VIII.52) показывает, что изменения в передаточной функции параллельного корректирующего устройства вызывают приблизительно пропорциональные им изменения величину на выходе. Следовательно, система (рис. VIII. 13, б) более чувствительна к изменениям в цепи обратной связи чем в главной цепи

В качестве примеров схемного осуществления параллельных корректирующих устройств рассмотрим тахометрическую и мостиковую обратные связи, обычно применяемые в следящих системах.

Рис. VIII. 14. Параллельное корректирующее устройство с тахогенератором

Рис. VIII. 15. Мостиковая тахометрическая обратная связь

На рис. VIII. 14, а изображено параллельное корректирующее устройство, состоящее из тахогенератора У, механически связанного с валом 2 исполнительного электродвигателя, и пассивного однозвенного RС-контура 3. Передаточная функция этого устройства имеет следующий вид:

Иногда вместо однозвенного применяют двухзвенный RC-контур (рис. VIII.14, б). В этом случае передаточная функция корректирующего устройства имеет вид

Если применение тахогенератора нежелательно, то используют мостиковую тахометрическую обратную связь (рис. VIII. 15). При сбалансированном мосте напряжение на его выходе пропорционально угловой скорости вращения двигателя, а если мост не сбалансирован, то — его угловой скорости и ускорению.

Прежде чем приступить к изложению метода синтеза параллельных корректирующих устройств, рассмотрим некоторые

простые свойства логарифмической амплитудной характеристики последовательности звеньев, шунтированных параллельным корректирующим звеном (рис. VII1.16). Передаточная функция этой системы имеет вид

Предположим, что передаточная функция задана. Необходимо определить передаточную функцию параллельного корректирующего устройства в классе минимально-фазовых систем. Но для того, чтобы введение параллельного корректирующего устройства не понижало порядок астатизма системы (рис. VIII.16), необходимо, чтобы порядок нуля передаточной функции при был не ниже порядка полюса передаточной функции заданной части при Действительно, пусть

где

Рис. VIII. 16. Структурная схема системы автоматического регулирования с параллельным корректирующим устройством

Подставляя выражения (VIII.54) в формулу (VIII.53), получим

откуда видно, что модуль функции при будет иметь вид

и, следовательно, система будет обладать астатизмом порядка лишь в том случае, если

Заметим, что при

а при

Равенство (VIII.56) показывает, что если кратность полюса объекта равна кратности нуля обратной связи, то передаточный

коэффициент после введения обратной связи уменьшается в раз. Точно так же из равенства (VIII.57) следует, что если кратность полюса объекта меньше кратности нуля обратной связи, то передаточный коэффициент после введения обратной связи остается неизменным.

Далее рассмотрим свойство передаточной функции вида (VIII.53).

Это свойство заключается в следующем: в том интервале частот, в котором

амплитудная частотная характеристика, соответствующая передаточной функции (VIII.53), будет

Логарифмируя обе части последнего выражения, получим

Из формулы (VIII.59) следует, что в интервале частот, для которого справедливо условие (VI 11.58), логарифмическая амплитудная частотная характеристика системы, состоящей из последовательности звеньев, шунтированных параллельным корректирующим звеном, приближенно равна логарифмической амплитудной характеристике параллельного корректирующего звена с обратным знаком.

Предположим, что логарифмическая амплитудная характеристика отличается не более чем от характеристики — в некотором интервале частот Значит, в этом интервале частот должно удовлетворяться неравенство

где

или

Заметим, что выражение

имеет такую же структуру, как и соотношение представляющее зависимость между передаточными функциями системы в замкнутом и разомкнутом состоянии, откуда видно, что для удовлетворения приближенного равенства (VIII.60) в некотором интервале частот с требуемой степенью точности необходимо и достаточно, чтобы в этом интервале вектор

не попадал внутрь окружностей амплитудной круговой диаграммы с индексами .

Предположим, например, что дб, тогда

и вектор (рис. VIII.17) в интервале частот не должен попадать внутрь окружностей с индексами

Из рис. VIII. 17 можно получить следующие условия для удовлетворения равенства (XXVI.59) с точностью

а) при дб должно удовлетворяться одно из двух неравенств:

б) при 11 дб дб должно удовлетворяться неравенство

в) при дб фаза может быть какой угодно.

Рассматривая способ синтеза параллельных корректирующих устройств, предположим вначале, что последовательное корректирующее устройство на рис. VIII. 10 отсутствует.

Рис. VIII.17. Область, в которой отличается от не более чем на 3 дб

Итак, можно предложить следующий порядок действий для определения передаточной функции параллельного корректирующего устройства:

а) строим логарифмическую амплитудную характеристику заданной части;

б) строим желаемую характеристику всей системы;

в) определяем существенный интервал частот в этом интервале выбирается характеристика так, чтобы имело место приближенное равенство:

г) строим характеристику

д) выбираем значение так, чтобы обеспечить удовлетворение неравенства (VIII.60) в интервале частот

е) проверяем, является ли выбранное значение совместимым с требованием устойчивости внутренней петли обратной связи при соблюдении для нее заданного запаса устойчивости. Для этого находим фазовую характеристику, соответствующую выбранной логарифмической амплитудной характеристике и строим амплитудную фазовую характеристику в координатах логарифм амплитуды — фаза;

ж) производим синтез параллельного корректирующего устройства по выбранной для него передаточной функции руководствуясь теми же соображениями, что и при синтезе последовательного корректирующего устройства;

з) выбираем так, чтобы величина К имела требуемое значение;

и) уточняем вид логарифмической амплитудной и фазовой характеристик, соответствующих функции для этого суммируем ординаты логарифмических амплитудных и фазовых характеристик, соответствующих функциям

к) производим проверку удовлетворения заданных условий качества:

Рассмотрим теперь общий случай структурной схемы (рис. VIII.10), содержащей как последовательное, так и параллельное корректирующие устройства. При этом передаточная функция системы имеет вид (VIII.38) и, следовательно, для ее логарифмической амплитудной характеристики можно написать

Первый шаг процесса синтеза, состоящий в выборе на основании заданных условий качества и характеристик объекта желаемой логарифмической амплитудной характеристики, остается тем же, что и ранее, дальнейший же ход решения задачи может, например, заключаться в следующем. Пусть

тогда вместо выражения (VIII.62) можно написать

Выражение (VI 11.64) имеет такой же вид, как и первая формула (VIII.42). Поэтому синтез передаточной функции можно выполнить способом, которым производится синтез последовательных корректирующих устройств. Определив и выбрав на основании имеющихся в распоряжении четырехполюсников и других активных корректирующих цепей, можно, зная найти логарифмическую амплитудную характеристику

из выражения (VIII.63) путем вычитания соответствующих характеристик. Если же нам известна логарифмическая амплитудная (VIII.65) и соответствующая ей фазовая характеристики, то логарифмическая амплитудная характеристика а следовательно, и искомая логарифмическая амплитудная характеристика могут быть легко определены.

Процесс значительно упрощается, если во всем существенном интервале частот удовлетворяется неравенство (VIII.58). При этом логарифмическая амплитудная характеристика [см. формулу (VIII.63)] сводится к виду

и способ синтеза по существу ничем не отличается от способа синтеза последовательных корректирующих звеньев. Необходимо лишь, определив характеристику найти логарифмическую амплитудную характеристику пользуясь формулой (VIII.66), что не представляет каких-либо затруднений.

Примеры синтеза, основанные на изложенной выше методике, приведены в главе X.

В заключение этого параграфа дадим краткое сравнение способов коррекции при помощи последовательных и параллельных корректирующих устройств.

Преимущество последовательных корректирующих устройств заключается в том, что они часто могут быть осуществлены в виде простых пассивных -контуров. Основные их недостатки можно охарактеризовать следующим образом. Непостоянство параметров и характеристик элементов системы снижает эффективность действия последовательных корректирующих устройств. Поэтому при их применении к стабильности характеристик элементов предъявляются обычно повышенные требования.

Интегрирующие (создающие отставание по фазе) -контуры, включаемые последовательно, обычно содержат более громоздкие конденсаторы, чем контуры в цепи обратной связи, а дифференцирующие (создающие опережение по фазе) RC-контуры очень чувствительны к помехам.

Преимущества параллельных корректирующих устройств состоят в следующем:

1) в уменьшении зависимости динамических свойств системы от изменений параметров и характеристик входящих в ее состав элементов. Поэтому требования к элементам могут быть менее жесткими, чем при применении последовательных корректирующих устройств;

2) в элементах системы автоматического регулирования, близких к ее выходу, развивается значительная мощность. Поэтому питание параллельного корректирующего устройства даже в том случае, если оно потребляет значительное количество энергии, не представляет затруднений;

3) системы, содержащие параллельные корректирующие устройства, менее подвержены влиянию помех, часто содержащихся в сигнале ошибки, чем системы с последовательными корректирующими устройствами. Это объясняется тем, что элементы системы, включенные перед их входом, играют роль фильтра низких частот.

Недостатком параллельных корректирующих устройств является то, что они часто состоят из дорогих или громоздких элементов (например, тахогенераторы или стабилизирующие трансформаторы). Значительные трудности иногда вызываются необходимостью требования, чтобы обратная связь не нагружала предварительные каскады усиления. В случае применения параллельных корректирующих устройств обычно необходимы высокие коэффициенты усиления. Некоторые типовые схемы корректирующих устройств, их передаточные функции и логарифмические амплитудные характеристики приведены в табл. VIII.3.