8. ТЕОРИЯ R(D)-И30БРАЖЕНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

В. С. Кулебакин предложил новое условие инвариантности систем автоматического регулирования по отношению к нагрузке [8] формировать с помощью многочленов операторов дифференцирования [или -изображения аналитических функций, являющихся общим решением однородных линейных дифференциальных уравнений]. Найдем простую механическую связь, подтверждающую идею данного метода. В случае воздействия вида простейшая модель, удовлетворяющая задаче полной фильтрации могла бы быть представлена в виде

линейной системы, состоящей из звена двойного дифференцирования и статического усилителя с коэффициентом усиления Сигналы с выхода этих звеньев поступают на сумматор в виде . Очевидно, результирующий сигнал на выходе сумматора будет равен нулю, обеспечивая полное условие инвариантности. Этот частный пример служит иллюстрацией общей идеи построения инвариантных систем. Для получения инвариантной системы автоматического регулирования необходимо подобрать такой оператор чтобы при действии внешнего возмущения обеспечивалось бы следующее условие:

тогда вынужденное отклонение регулируемой величины станет равным нулю.

Действительно, пусть вынужденная составляющая решения системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих процесс в автоматически регулируемой системе, определяется уравнением

где — внешнее возмущение;

— управляющее воздействие.

Разобьем на составляющие таким образом, чтобы

и найдем условия полного гашения внешнего возмущения или наилучшего воспроизведения воздействия

Получить полное гашение внешнего возмущения (инвариантность) регулируемой величины х от внешнего возмущения можно путем обеспечения равенства

Последнее выражение возможно лишь при или путем применения условия (IX.97).

Операторное изображение функции входит в произведение

Подставим выражение (IX.102) в (IX.99), тогда получим

Выражение (IX. 103) при выполнении условия (IX.97) примет

Точное воспроизведение управляющего воздействия возможно при

или

Что может быть получено, когда имеет сомножителем После соответствующих преобразований выражения (IX.105) имеем

или, учитывая выражение (IX. 106), из (IX. 107) получим

Последняя зависимость показывает на возможность точного воспроизведения инвариантной системы управляющего воздействия Оператор характеризующий динамические характеристики всей системы, должен удовлетворять условиям устойчивости и качества регулирования.

Теоретической основой -изображения явилась возможность представления функции с требуемой точностью в виде интеграла линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Используя это положение, В. С. Кулебакин сформулировал следующие теоремы [9]: Теорема 1. Всякое семейство функций равностепенной непрерывности на отрезке можно рассматривать как семейство интегралов линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, зависящими только от отрезка если пренебречь ошибкой в, сколь угоднр малой.

Теорема 2. Всякая непрерывная функция определенная на полуоси и стремящаяся к постоянной С при безграничном возрастании может рассматриваться на всём протяжении полуоси как интеграл линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, подчиненного критерию устойчивости Гурвица, если пренебречь ошибкой сколь угодно малой.

Доказательство теоремы 1 состоит в том, что всякое семейство функции на отрезке можно рассматривать при их продолжении непрерывными периодическими функциями на всей оси от до с периодом Семейство функции имеет равностепенную непрерывность с тем же модулем непрерывности. Сделав преобразование по времени

приняв найдем сумму ряда Фурье порядка для в виде

Вводя сумму Файера

найдем интеграл Файера

Абсолютное значение разности двух функций будет

или

где — модуль непрерывности функции

По этой формуле нетрудно определить следующее неравенство:

на всем отрезке для всякой функции семейства равностепенной непрерывности, но при числе взятом достаточно большим.

Так как тригонометрический многочлен является интегралом линейного и однородного дифференциального уравнения фиксированного порядка имеющего постоянные коэффициенты, зависящие только от концов отрезка показывает на правильность выполненного нами доказательства теоремы 1. На основании этой же оценки легко показать, что всякая непрерывная функция определенная на полуоси и стремящаяся к постоянной при безграничном возрастании может быть рассматриваема на всем протяжении полуоси как интеграл линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, подчиненного правилу устойчивости Гурвица, если пренебрегают ошибкой сколь угодно малой (т. е. доказательству теоремы 2).

Внешние возмущающие функции и существование их K(p)-изображения. В дальнейшем мы будем рассматривать внешние возмущающие функции, ограниченные по модулю и обладающие, необходимой непрерывностью. Такие функции на фиксированном конечном отрезке времени могут быть представлены алгебраическими многочленами от времени или полиномами Чебышева — Вейерштрасса:

или тригонометрическими многочленами вида:

С точностью до можно представить эти функции в следующем виде:

где могут быть как действительными, так и комплексными числами;

— целые неотрицательные числа;

— числовые коэффициенты;

— в общем виде комплексные числа с отрицательными действительными частями.

Функция равная со своей стороны является решением дифференциального уравнения вида

т. е. является интегралом уравнения, которое можно записать в виде

Достаточно интересном является тот факт, что -изображение можно представить абсолютно точно или с любой заданной точностью дифференциальными уравнениями с переменными параметрами. Обобщением указанного положения является приложение

теории К (-изображения к функциям, являющимся суммой функций различных видов.

Итак,

Определим -изображения такой функции в виде произведения -изображений, каждой частной функции Действительно, последнее, очевидно, равно нулю, поскольку существует сомножитель обращающий в нуль выражение

Связь между преобразованием Лапласа для функции f(t) и К(р)-изображением. Поскольку -изображение представляет собой полином по степеням то его изображение может быть представлено в виде

где — корни характеристического уравнения

Преобразование Лапласа для функции равно

Таким образом, знаменатель дробного выражения преобразования Лапласа функции соответствует -изображению.

Применение К(р)-изображения. Теория -изображений имеет существенное значение для решения многих задач автоматического регулирования, теории колебаний и решения дифференциальных уравнений. Отличительной особенностью -изображения является в этом случае ясность его физической структуры. Рассмотрим применение -изображения для решения некоторых практических задач.

1. Применение K(p)-изображений для исследования автоматических систем, переходные процессы в которых описываются линейными дифференциальными уравнениями. В указанном случае возможно применение -изображений для приведения неоднородных линейных дифференциальных уравнений к однородным. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение вида Если на правую и левую часть уравнения воздействует K(p)-изображение, то получим

Правая часть в указанном уравнении будет равна нулю, тогда исходное уравнение становится следующим: Таким образом, неоднородное дифференциальное уравнение может быть приведено к однородному дифференциальному уравнению, но с более высоким порядком.

Пример. Пусть исходное уравнение

необходимо привести к однородному уравнению. Воспользуемся для этого тем, что -изображение функции равно . Умножая это выражение на обе части уравнения, получим характеристическое уравнение. Откуда нетрудно найти общее решение этого уравнения в виде

Величины находят обычным образом по начальным данным и методом сопоставления коэффициентов при частном решении.

Указанный пример показывает на возможность использования -изображения для приведения неоднородного уравнения к однородному. Он также может соответствовать случаю движения системы под воздействием внешнего возмущения Тогда получаемый эффект приведения неоднородного уравнения к однородному может быть сформулирован следующим образом: процессы в линейных автоматических системах, находящихся под действием непрерывного возмущения, могут быть описаны формально однородными дифференциальными уравнениями, соответствующими ее свободному движению.

Пример выбора параметров следящей системы. В качестве примера рассмотрим систему следящего привода, на который действует нагрузочный момент, изменяющийся по гармоническому закону [8]. Требуется определить оператор возмущения при котором система электропривода делается инвариантной в отношении нагрузочного момента, но с точностью до свободной составляющей:

Будем считать, что уравнение усилителя имеет вид

уравнение электродвигателя

уравнение суммирования

Уравнение процесса слежения следующее:

Обозначим оператор, стоящий перед через

Компенсация вынужденного движения под влиянием момента произойдет в том случае, если будет содержать в качестве своего сомножителя изображение

Итак,

Зная определим условие компенсации вынужденного движения в виде

Многочлен представим в виде суммы двух операторов:

которые можно привести к виду

где параметры определяются с помощью следующих формул:

Отсюда следует

Выберем таким образом, чтобы

тогда член обратится в нуль, так как

В рассмотренном случае система электропривода делается инвариантной (с точностью до свободной составляющей) в отношении синусоидального нагрузочного момента.

В последнее время на основе принципа инвариантности разрабатываются самонастраивающиеся системы автоматического регулирования с неизменяемой структурой, а также с изменяемой в процессе работы структурой [2], [18]. Самонастраивающиеся системы с переменной структурой представляют наиболее перспективный вид систем, автоматического регулирования, так как они обладают высокими показателями качества и точности, при малых энергетических затратах, для широкого диапазона изменений управляющего и возмущающего воздействий.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)