9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ОШИБКИ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ

При определении динамической ошибки дискретных систем также используется метод коэффициентов ошибок. Существуют два способа введения коэффициентов ошибки. В первом случае сигнал ошибки разлагается в ряд по производным входного сигнала. При втором способе разложение производится по разностям входного сигнала [4], [13]. Ниже будет рассмотрен только первый из них. Так же как и в непрерывных системах, в формулу для ошибки

подставляем разложение входного сигнала в ряд Тейлора

В результате получим

где

причем — импульсная переходная функция замкнутой следящей системы по сигналу ошибки. Итак,

причем для следящей системы имеем

В следящей дискретной системе сигнал ошибки существует только в дискретные моменты времени

Пример 3. Определим коэффициенты ошибок дискретной следящей системы с электродвигателем и запоминающим элементом нулевого порядка. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна

отсюда, используя формулы примера 1, получим

где

Передаточная функция замкнутой системы будет

где

Передаточная функция рассмотренной системы по сигналу ошибки определяется формулой

где

Используя формулу (XIII.77), получим

т. е. коэффициенты ошибок по скорости дискретной и непрерывной системы совпадают и равны обратной величине коэффициента усиления по скорости.

Это значит, что скоростная ошибка обеих систем одинакова, независимо от интервала дискретности.

Трудность расчета динамической ошибки дискретно-непрерывных во времени систем состоит в том, что у таких систем нет передаточной функции , не зависящей от входного сигнала. Для таких систем имеем

где — непрерывная и дискретная части разомкнутой дискретно-непрерывной во времени системы. Определим формулы для коэффициентов ошибок. Для этого соотношение (XIII.79) можно переписать в виде

Рассматривая данную систему в разомкнутом состоянии как последовательное соединение непрерывного и дискретного фильтров, можно заменить последовательное соединение этих фильтров одним фильтром с передаточной функцией

которая зависит от о, как параметра. Коэффициенты ошибки такой системы определяем согласно теории расчета непрерывных систем по формулам

где

Если подставить в эту формулу выражение (XI 11.81) и взять производные, то получим

где

При определении коэффициентов ошибки астатических дискретно-непрерывных систем встречаются особенности, на которых следует остановиться. В таких системах передаточная функция непрерывной части может иметь полюс в точке

где — порядок астатизма.

Поэтому при использовании формулы (XIII.85) получаются бесконечно большие значения коэффициентов . В связи с этим необходимо разложить выражение в ряд по положительным степеням Покажем это на примере астатической системы второго порядка Дело в том, что если функция имеет плюс в точке второго порядка, то функция обязательно будет иметь нуль второго порядка в точке Поэтому

где

Далее производим разложение функций в ряде Маклорена по переменной полагая для простоты

Ряды (X 111.89) и (XIII.90) сходятся при малом , т. е. динамическая ошибка подсчитывается в установившемся состоянии при Поэтому после подстановки этих соотношений в формулу (XIII.87) и замены в результате перемножения рядов будем иметь

Отсюда получим следующие формулы для коэффициентов ошибки дискретно-непрерывной системы с астатизмом второго порядка:

Аналогичные формулы можно получить для систем с другим порядком астатизма.

Пример 4. В качестве примера рассмотрим коэффициенты ошибки системы, структурная схема которой приведена на рис. ХIII.20, ж, с передаточными функциями

Учитывая эти выражения и формулы (XIII.45 и XIII.81), имеем

С помощью приведенных выше соотношений и формул (XIII.92) получим

где

После преобразований будем иметь

или

Подставляя в формулы численные значения получим .

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)