7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ПО РЕАЛИЗАЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Приближенная формула для вычисления корреляционной функции эродического случайного процесса по его единственной реализации имеет вид

Если известны лишь дискретные значения процесса то формула (II 1.63) принимает вид

где

Применение формулы (111.64) требует решения трех вопросов выбора интервала наблюдения Т, интервала дискретности А и максимального допустимого значения или

Выбор интервала наблюдения Т. В силу конечности Т определяемая функция является случайной функцией. В качестве меры точности определения естественно принять дисперсию функции

В главе I было показано, что

где

Однако в общем случае применение этой формулы затруднительно, так как для этого необходимо знать момент четвертого порядка случайного процесса

Рассмотрим два случая, когда удается обойти эту трудность. Первый случай. Оценим ошибку в определении начальной ординаты корреляционной функции

При и формула (III.66) принимает вид

Предположим, например, что

тогда

Подставляя последнее выражение в формулу (111.67) и пренебрегая членами с получим следующую формулу для оценки

Если потребовать, чтобы

и учесть, что , то получим следующее неравенство для выбора Т:

Обычно для грубой оценки можно предположить, что корреляционная функция имеет вид . В этом случае формула (III.71) принимает вид

Второй случай. Оценим ошибку в определении произвольной ординаты корреляционной функции, когда распределение вероятностей стационарной случайной функции выражается законом Гаусса. Несмотря на это ограничение, второй случай имеет широкую область применения, так как во многих задачах распределение вероятностей стационарных случайных функций близко к нормальному. Для оценки зададимся корреляционной функцией Предварительно преобразуем выражение (III.66). Выразим через корреляционную функцию процесса следующим образом:

Подставляя это выражение в формулу (111.66), получим

При помощи этой формулы можно, задаваясь корреляционной функцией, полученной на основе опыта статистической обработки аналогичных процессов, и исходя из заданной среднеквадратической ошибки, выбрать значения величины Т.

Пусть, например, корреляционная функция случайного Гауссова процесса имеет вид (111.68).

Полагая и пренебрегая членами с получим

Как легко видеть, с увеличением дисперсия стремится к значению

Верхняя оценка для среднеквадратической ошибки получается при и в 2 раза превышает это предельное значение.

Произведенный анализ показывает, что формула (III.71) может служить для оценки интервала наблюдения Т, исходя из допустимой дисперсии в определении не только при но и при любом .

Выбор интервала дискретности А. Слишком малый интервал дискретности А увеличивает объем вычислительной работы, а значительный — уменьшает точность. Действительно, вследствие случайного характера и конечной длительности реализации имеется случайное отклонение вычисленных значений от их ожидаемых или средних значений. Этот разброс значений может быть уменьшен по выбранному числу ординат, которое, однако, ограничено и при данном Т, обратно пропорционально А.

Для того чтобы извлечь максимальное количество информации, заключенное в реализации процесса заданной продолжительности Т, интервал дискретности А следует выбирать на основе теоремы Котельникова, положив

где — ожидаемая граничная или наивысшая интересующая нас частота спектральной плотности т. е.

Выбор (или ). На основании одной реализации вычисленные значения можно определить лишь с некоторым разбросом относительно действительных значений корреляционной функции Для сигналов с нормальным распределением дисперсия в оценке по равна

Из формулы (II 1.76) следует, что дисперсия в оценке тем больше, чем больше и при обращается в бесконечность. Таким образом, достаточно достоверные сведения о корреляционной функции полученной только по одной реализации случайного процесса можно иметь лишь при значениях отличающихся от интервала наблюдения Т не менее чем на порядок величины (т. е. ттах должно быть во всяком случае меньше, чем 0,1 Т).

Грубую оценку величин можно также производить, исходя из диапазона частот, который представляет интерес при работе системы [8]. Пусть низшая частота равна Тогда выбираем ттах по формуле

Оценку требуемого Т производим по формуле

при помощи неравенства (111.75), т. е.

где — граничная, или наивысшая, частота.