ГЛАВА XIV. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

На дискретные системы, так же как и на непрерывные системы, воздействуют, помимо регулярной, случайные составляющие, которые вызывают случайную ошибку следящей системы. Ниже будут рассмотрены различные частотные методы анализа и синтеза дискретных во времени и по амплитуде систем при случайных воздействиях.

1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОГО ВО ВРЕМЕНИ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА

В подавляющем большинстве случаев на практике встречаются только такие дискретные во времени случайные процессы, которые получаются из соответствующего непрерывного процесса выборкой дискретных значений последнего в моменты времени (рис. XIV.1).

Моменты для таких дискретных процессов получаются из моментов соответствующих непрерывных процессов, если положить т. е.

где — соответственно моменты первого и второго порядков для непрерывного случайного процесса соответствующего дискретному во времени процессу

Для получения корреляционной функции из каждой реализации берем значения перемножаем их, а затем суммируем все произведения и делим их на число, после

чего переходим к пределу. Очевидно, что если каждая реализация дискретного процесса получается из соответствующей реализации непрерывного процесса взятием дискретных значений при то моменты любого порядка дискретного случайного процесса равны моментам соответствующего порядка непрерывного процесса, взятым в дискретные моменты времени.

Рис. XIV.1. Непрерывный и дискретный случайные процессы

Спектральная плотность для стационарного случайного процесса определяется, как преобразование Фурье от функции корреляции этого процесса.

Для непрерывного сигнала ввиду четности корреляционной функции имеем

Для дискретного сигнала

В дальнейшем под спектральной плотностью дискретного процесса мы будем понимать выражение

где т. е. двустороннее z-преобразование от корреляционной функции.

Для определения спектральной плотности из формулы (XIV.5) можно получить следующее выражение:

где — z-преобразование от корреляционной функции.

Таким образом, спектральную функцию дискретного стационарного процесса можно получить с помощью таблиц z-преобразований по известной корреляционной функции соответствующего непрерывного процесса.

Рассмотрим свойства спектральной плотности реального дискретного случайного процесса. Согласно формулам (XIV.4) и (XIII. 14) можем написать

Отсюда следует, что

где спектральная плотность соответствующего непрерывного процесса, которая может принимать только действительные значения.

Из формулы (XIV.7) следует, что спектральная функция дискретного сигнала принимает действительные значения, когда z находится на единичной окружности Данное положение можно доказать, основываясь на равенстве (XIV. 5), так как справа стоит сумма действительных величин. Действительно, учитывая четность корреляционной функции, формулу (XIV.5) можно записать в виде

Спектральную плотность непрерывного процесса можно представить суммой элементарных дробей, вида (предполагается, что все полюса простые) Этому выражению соответствует z-преобразование

Спектральная плотность дискретного процесса также определяется суммой элементарных дробей и, следовательно, является дробно-рациональной функцией аргумента причем степень полинома в числителе равна или меньше степени полинома в знаменателе. Отметим, что вычисление спектральных плотностей можно произвести и прямым суммированием по формуле (XIV.7), не прибегая к таблицам.

Корреляционная функция находится по данной спектральной функции разложением по степеням Коэффициенты при соответствующих членах дают значение корреляционной функции для дискретных значений времени

Можно также воспользоваться формулой обращения

Интегрирование в этой формуле производится по контуру окружности радиуса

Для определения значений при следует разложить на элементарные дроби вида и взять только те из них, для которых Далее, разложив их в ряды по отрицательным степеням 2, находим сумму при одинаковых степенях. Обычно вычисляются значения только для Для отрицательных значений числовые значения четным образом повторяют значения Для того чтобы функция комплексного переменного принимала действительные- значения при (на единичной окружности), необходимо и достаточно, чтобы функция оставалась равной себе при замене

Пусть коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции действительны. Такое предположение справедливо, ибо согласно формуле (XIV. 6) представляет собой сумму z-преобразований действительной функции

Для того чтобы функция при принимала действительные значения, необходимо и достаточно выполнение следующего равенства:

где — действительные числа.

Только в этом случае можно попарно объединить члены заменить их через и получить действительную функцию Поэтому спектральную функцию реального дискретного случайного процесса можно представить в виде

Коэффициенты при в числителе и в знаменателе спектральной плоскости должны быть равны.

Так как коэффициенты полиномов числителя и знаменателя действительны, то все корни числителя [нули ] и нули знаменателя [полюса можно разбить на четверки (рис. XIV.2)

Зная один из корней, можно найти остальные три [5]. В общем случае, когда имеются действительные и комплексные

корни, все полюса и нули соответственно разбиваются на четверки вида Если корень а мнимый по модулю, равный единице — на пары а, а если корень а действителен — на пары При этом и , когда корни а комплексные и по модулю равные единице.

Рис. XIV.2. Расположение нулей (полюсов) спектральных плотностей случайных сигналов на плоскости комплексного переменного: а — плоскость — плоскость z

Используя приведенные выше свойства нулей и полюсов спектральной плотности дискретного сигнала, можно представить разложив предварительно на элементарные сомножители числитель и знаменатель, в следующем виде:

где полиномы имеют корни, лежащие внутри единичного круга. Таким образом, в случае дискретного сигнала спектральную плоскость можно представить как квадрат функции, все полюса и нули которого расположены внутри единичного круга.