6. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Для дискретных систем постановка задач синтеза и пути их решения аналогичны соответствующим задачам синтеза в теории непрерывных систем. Однако имеются некоторые особенности, на которых следует остановиться. В настоящем разделе будут рассмотрены три задачи синтеза дискретных систем: синтез дискретной системы при бесконечной памяти, синтез дискретно-непрерывной системы при бесконечной памяти и синтез дискретной системы при конечной памяти.

Синтез дискретной системы при бесконечной памяти. Пусть на входе дискретной системы воздействует сумма полезного случайного стационарного сигнала и стационарной случайной помехи (рис. XIV.26). Определим оптимальную импульсную переходную функцию За критерий оптимальности принимаем, так же как и для непрерывной системы, минимум дисперсии ошибки между желаемым сигналом и выходным сигналом системы Предполагается, что желаемый сигнал связан с полезной составляющей входного сигнала системы некоторым линейным оператором вида

где — импульсная переходная функция идеального оператора, которая необязательно физически реализуема.

Оптимальная импульсная переходная функция дискретной системы определяется из суммарного уравнения, полученного аналогичным способом, как и соответствующее интегральное уравнение Винера-Хопфа для непрерывных систем.

Рис. XIV.26. Дискретная схема с бесконечной памятью

По определению дисперсии ошибки

где — входной сигнал, который состоит из полезной составляющей и помехи

Раскрывая скобки, получим

Используя те же приемы, что и для непрерывного случая, получим следующее суммарное уравнение для оптимальной импульсной переходной функции:

где

функция взаимной корреляции желаемого и входного сигналов: — функция корреляции входного сигнала.

При этом среднеквадратическая ошибка принимает свое минимальное значение, которое равно

Последняя формула получена из соотношения (XIV. 127), если в него подставить выражение (XIV.128) и перейти к z-преобразованию. Передаточная функция физически осуществимой дискретной системы имеет полюса только внутри единичного круга. Приведенное положение является необходимым и достаточным условием физической осуществимости, так как только в этом случае передаточная функция разлагается в односторонний ряд Лорана по отрицательным степеням z.

Для решения уравнения (XIV. 128) перепишем его в виде

где

Возьмем двустороннее -преобразование от обеих частей соотношения (XIV. 131)

Ввиду условия при фуцкция не имеет полюсов внутри единичного, круга плоскости (т. е. она является аналитической в этой области). В соответствии с рассмотренными свойствами спектральной плотности реальных дискретных процессов можно написать

где функция, не имеющая полюсов и нулей вне единичного круга.

функция, не имеющая нулей и полюсов внутри единичного круга плоскостй переменной

С помощью формулы (XIV.133) уравнение (XIV. 132) можно записать в виде

Правая часть этого уравнения не имеет полюсов внутри единичного круга. Поэтому обратное преобразование от нее равно нулю при Отсюда

Но так как функции аналитические вне единичного круга, то обратное преобразование от их произведения равно нулю при т. е.

поэтому

Учитывая (XIV. 135), окончательно получим выражение для оптимальной передаточной функции

В рассмотренной задаче можно не вводить локальное время а решать задачу в зависимости от t [7, 14]. В этом случае получится выражение для оптимальной передаточной функции, аналогичное формуле для непрерывного случая:

Сокращенно последнее соотношение можно записать в виде

В формулах (XIV.139) и (XIV.140) для удобства записи при замене переменной не вводится нового обозначения для функции. Так, полагаем Кроме того, знак плюс или минус в индексе означает, что исходное двустороннее преобразование Лапласа представлено в виде суммы двух слагаемых:

где функция не содержит полюсов в правой полуплоскости переменной а функция в левой полуплоскости переменной Аналогичным образом через обозначим функции, не имеющие нулей и полюсов в правой и соответственно левой полуплоскости Причем

Синтез дискретно-непрерывной системы. В общем случае сигнал на выходе дискретно-непрерывной во времени системы связан с входным сигналом соотношением

где — входной сигнал дискретно-непрерывной во времени системы;

— передаточные функции непрерывных частей системы; — передаточные функции дискретных частей системы.

Заметим, что зависимость (XIV. 142) имеет место в одноканальной дискретно-непрерывной системе, когда на ее вход подается один сигнал и на выходе также появляется один сигнал. Подобная зависимость между входным и выходным сигналами имеет место в одноканальных дискретных системах с несколькими интервалами дискретности и в одноканальных дискретных системах второго типа. Наиболее распространенным на практике случаем является такой, когда требуется определить оптимальное выражение для передаточных функций непрерывной или дискретной частей системы по отдельности. Теоретически можно рассматривать одновременный синтез непрерывных частей, где дискретных частей системы Ниже последовательно будут рассмотрены следующие задачи:

а) определение оптимальной передаточной функции одной непрерывной или дискретной части при заданных остальных частях системы;

б) определение оптимальных непрерывной и дискретной частей с одним или разными номерами при заданных остальных частях системы. При этом предполагается, что функция не зависят от и от

Если на вход разомкнутой системы действует помеха со спектром, более широким, чем спектр полезного сигнала, то целесообразнее выполнить фильтрацию до подачи сигналов на ключ. Дело в том, что если интервал дискретности выбран таким, что спектры полезного сигнала не перекрываются, а помехи перекрываются, то появляются дополнительные составляющие помехи в полезном

сигнале основном интервале частот за счет влияния смещенных спектров помехи. Последние можно уменьшить, применив непрерывный фильтр до ключа [12]. Поэтому в задачах синтеза дискретно-непрерывных систем для рассмотренного случая соотношения между спектрами предпочтительнее коррекция в непрерывной части системы.

Рассмотрим методику синтеза на примере первого канала так как это зависит от способа нумерации каналов.

Рис. XIV.27. Дискретно-непрерывная система с корректирующим фильтром

В соответствии с формулой (XIV. 142) можно написать (рис. XIV. 127) следующее выражение для сигнала ошибки:

где — импульсные переходные функции соответственно непрерывных и дискретных частей;

— желаемый сигнал на выходе системы;

— входной сигнал системы, состоящей из суммы полезной случайной составляющей и помехи

Введем локальное время и новую переменную суммирования тогда получим

Возведем в квадрат и усредним (по времени или по ансамблю) это уравнение, тогда получим

Придавая вариацию функции и выполняя необходимые выкладки, найдем следующее интегральное уравнение для определения оптимальной импульсной переходной функции

Выполнив двустороннее преобразование Лапласа от обеих частей этого равенства, получим

где функция не имеет полюсов в левой полуплоскости, а — передаточные функции дискретных и непрерывных частей. Для случая (рис. XIV.28) уравнения (XIV. 146) и (XIV. 147) можно записать

Возьмем от обеих частей равенства (XIV. 149) интеграл по переменной а в пределах от 0 до 1 и поделим на

Рис. XIV.28. Дискретно-непрерывная система при одной непрерывной и одной дискретной частях системы с корректирующим фильтром

Это соответствует тому, что ищется передаточная функция оптимальная не в любой локальный момент времени которая дает минимум ошибки при любом а, т. е.

а функция, которая обращает в минимум выражение

При интегрировании следует учесть формулы, приведенные в приложении III

В результате получим

где а функция также не имеет полюсов в левой полуплоскости переменного Уравнение (XIV. 154) совпадает с уравнением, полученным в работе [11]. Таким образом, задача решается для критерия, задаваемого формулой (XIV. 151).

Если взять обратное преобразование Лапласа от обеих частей равенства (XIV. 154), получим

Это интегральное уравнение определяет импульсную переходную оптимальную в смысле критерия, который задается формулой (XIV. 151). Оно является исходным для решения задачи синтеза в работе [12].

Найдем выражение для физически реализуемой оптимальной передаточной функции которая удовлетворяет уравнению (XIV. 147). Очевидно, что оптимальная передаточная функция будет Зависеть от , т. е. оптимальный фильтр будет системой с периодически меняющимися параметрами. По существу функцию следует рассматривать как параметрическую функцию некоторой системы с переменными параметрами (см. гл. XIII).

При решении уравнения (XIV. 147) следует поступать так же, как при решении уравнения (XIV. 132). Уравнение (XIV. 147) можно перевисать в виде

Далее поступаем так же, как и при выводе формулы (XIV. 138). Обратное преобразование Лапласа от правой части уравнения (XIV. 156) равно нулю при . С другой стороны, третье слагаемое в левой части не имеет полюсов вне единичного круга. Поэтому

отсюда

или сокращенно

Для случая в соответствии с уравнением (XIV. 149) получим решение в виде

Для случая, когда используется критерий (XIV. 151), получим аналогичным образом, в соответствии с уравнением (XIV.154), следующее выражение для оптимальной передаточной функции, которая уже не зависит от а:

Как и следовало ожидать, это выражение совпадает с теми, которые получены в работах [11, 12].

Рассмотрим теперь случай, когда требуется определить оптимальную передаточную функцию одной из дискретных частей системы Если в формуле для дисперсии ошибки придать функции вариацию и проделать некоторые выкладки, то получится следующее интегральное уравнение,

которое определяет оптимальную импульсную переходную функцию:

Возьмем от обеих частей этого равенства двустороннее z-преобразование с запаздыванием. Для этого необходимо интегралы заменить суммами по формуле

В результате получим 1

Для преобразования выражения в левой части необходимо использовать формулу (11) приложения III

В нашем случае необходимо найти выражение

где принято Но очевидно, что

Так как

Поэтому

Для преобразования правой части уравнения (XIV. 164) заметим, что с помощью формулы (XIV. 165) и (XIV. 152) имеем

т. е.

Используя формулы (XIV. 169) и (XIV.170), можно теперь записать окончательно уравнение (XIV. 164) в виде

или иначе

где введено новое обозначение

Для уравнение (XIV. 172) запишется в виде

Если взять от обеих частей этого равенства интеграл по от 0 до 1 и поделить на то, учитывая формулу (XIV. 152), получим

Это уравнение совпадает с соотношением, полученным в работе [11].

С помощью стандартных методов нетрудно получить решение уравнения (XIV. 172) в виде

Для случая получим

При использовании критерия (XIV. 151) с помощью уравнения (XIV. 175) получим

Во всех этих уравнениях полагалось, что Нетрудно заметить, что выражение (XIV.161) может быть непосредственно получено из выражения (XIV. 160) интегрированием по а от 0 до 1. Для этого случая задача по существу аналогична задаче Винера, только входную спектральную плотность необходимо пересчитать через непрерывную часть фильтра: при этом можно решить задачу, не прибегая к локальному времени так как это было сделано во втором варианте решения задачи Винера.

Можно решить задачу определения обеих передаточных функций непрерывной и дискретной частей системы оптимальных по критерию, который задается соотношениями (XIV. 150) или (XIV. 151). Для первого случая необходимо совместно решить уравнения (XIV. 147) и (XIV. 172). Для второго критерия необходимо относительно совместно решить уравнения (XIV.154) и (XIV.175) (рассматривается только случай Аналогичным образом можно решить задачу определения непрерывных и дискретных частей фильтров для критериев (XIV.150) или (XIV.151), где

Синтез дискретных систем при конечной памяти системы. Постановка данной задачи полностью аналогична задаче синтеза непрерывной системы (см. гл. VII).

На вход системы (рис. XIV.29) поступает сумма полезного сигнала и стационарной случайной помехи причем полезный сигнал состоит из регулярной составляющей и случайной стационарной составляющей

Регулярная составляющая представляет полином степени с неизвестными коэффициентами.

Рис. XIV.29. Дискретная система с фильтром, имеющим конечную память

Математические ожидания сигналов предполагаются равными нулю. Требуется, чтобы на выходе системы воспроизводился сигнал

где — идеальные импульсные переходные функции соответственно для регулярной и случайной составляющих. В частном случае они могут быть равны

Для сигнала на выходе фильтра

где — оптимальная импульсная переходная функция системы, память системы.

По условию

Подставляя зависимость (XIV. 180) в формулу (XIV.179), получим

где

момент порядка импульсной переходной функции.

Если подставить выражение (XIV. 180) в формулу получим

где

— моменты идеальной импульсной переходной функции желаемой системы (XIV.184).

Так как стационарны и их средние значения равны нулю, то средние значения для зависят только от неслучайной составляющей

Требуя равенства нулю средней ошибки воспроизведения, т. е.

получим ограничивающее условие на импульсную переходную функцию

Ошибка воспроизведения случайных составляющих задается следующим уравнением:

Методами, которые применяли и ранее, можно получить следующее выражение для квадрата среднеквадратической ошибки воспроизведения:

Задача синтеза состоит в том, чтобы найти импульсную переходную функцию обращающую в минимум при одновременном выполнении ограничивающих условий на первые моменты этой функции, которые вытекают из тождества (XIV. 187). Данная задача представляет собой типичную вариационную задачу на условный экстремум. С помощью множителей Лагранжа задача сводится к нахождению минимума следующего выражения:

Придавая произвольную вариацию с помощью уже применявшихся приемов, получим необходимое и достаточное условие минимума (XIV. 190) в виде

Используя это соотношение и учитывая ограничивающие условия (XIV. 187), получим окончательно уравнения, определяющие оптимальную импульсную переходную функцию в виде

Система уравнений (XIV.192) и (XIV.193) содержит линейных алгебраических уравнения с неизвестными:

В результате решения этих уравнений получается значение импульсной переходной функции, которая вне интервала времени равна нулю. Для дискретных систем управления реализация такой импульсной переходной функции не представляет таких принципиальных трудностей, как в случае непрерывных систем, так как для дискретных систем возможно конечное время переходного процесса. Для непрерывных систем время переходного процесса теоретически равно бесконечности, ибо в выражение для импульсной функции входят экспоненциальные члены. Приведем решение рассмотренной задачи для случая дробно-рациональной функции спектральной плотности Как было показано в начале главы [см. формулу (XIV. 10)], эту функцию можно представить в виде

Из этой формулы следует, что корреляционная функция может быть представлена в виде

Функция Грина определяется как решение разностного уравнения

где

Разностные операторы получаются соответственно из функций простой заменой на А. Оператор

является оператором смещения функции на интервал дискретности в сторону опережения и определяется соотношением

С помощью формулы (XIV.195) уравнение (XIV.191) перепишется в виде

Решение этого разностного уравнения порядка можно записать в виде

где — корни уравнения

оператор, обратный который определяется соотношением

Применяя к обеим частям соотношения (XIV. 199) оператор согласно формуле (XIV.196), получим следующее выражение для импульсной переходной функции:

где

Функции возникают в результате воздействия оператора на функцию в точках

Неизвестные коэффициенты оптимальной импульсной переходной функции определяются следующим образом. Подставляя выражение для импульсной переходной функции в уравнения (XIV. 192) и (XIV. 193) и рассматривая их как тождества относительно неизвестных величин которые зависят от о, получим алгебраические уравнения для определения необходимых коэффициентов

В заключении сделаем несколько замечаний относительно физического смысла обоих критериев (XIV.150) и (XIV.151) и возможностей реализации оптимальных фильтров. При использовании второго критерия параметры оптимального фильтра не будут зависеть от локального времени о. Критерий требует минимума площади, ограниченной осью абсцисс, прямыми и кривой дисперсии ошибки в зависимости от о. В этом случае оптимальная система будет давать минимальную в среднем за интервал дискретности среднеквадратическую ошибку. Принципиальных трудностей в реализации оптимального фильтра в данном случае нет.

Совсем другое положение имеет место при использовании первого критерия, который требует минимального значения дисперсии ошибки в каждый локальный момент времени Математически можно определить параметры оптимального фильтра при заданном и фильтра при заданном в зависимости от а. Однако имеется различие при реализации оптимального фильтра в этих двух случаях. Оптимальный фильтр параметры которого будут зависеть от , можно реализовать с помощью аналоговых или цифровых устройств, в которых периодически с периодом осуществляется перестройка параметров в соответствии с зависимостями, полученными при решении задачи на оптимум. При реализации подобного фильтра с периодически меняющимися параметрами ошибка системы будет меньше, чем в случае применения второго критерия.

Аналогичным образом можно реализовать оптимальный фильтр параметры которого будут зависеть от о. Однако это не значит, что практически будет получена ошибка, равная расчетной, так как после фильтра стоит ключ, который пропускает сигнал в моменты времени . В промежутках между этими дискретными значениями какие бы оптимальные значения сигнала на выходе оптимального фильтра не возникали, они не могут оказать какого-либо влияния на выходной сигнал фильтра . В этом случае можно только добиться того, что ошибка на выходе системы будет минимальна в каждый локальный момент времени т. е. в моменты Для этого необходимо в фильтре установить постоянные параметры, которые соответствуют выбранному , согласно зависимостям, полученным при решении оптимальной задачи. При этом с ключа на вход фильтра будет поступать в моменты

оптимальные значения сигнала и на выходе системы будет минимальная ошибка в локальные моменты времени, Значение этой ошибки будет меньше, чем в случае второго критерия. Можно настроить систему на оптимум для другого о, тогда ошибка будет минимальна в локальные моменты времени, соответствующие этому значению. Но нельзя сделать, чтобы в системе ошибка равнялась расчетной для всех <з. Поэтому практическое применение оптимальных решений по первому критерию по-видимому имеет существенные ограничения.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

ПРИЛОЖЕНИЯ