2. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Обычно при доказательстве частотного критерия устойчивости Найквиста [7] предполагают, что передаточная функция разомкнутой системы представляет собой дробно-рациональную функцию от Эта замена ограничивает применение критерия к системам с сосредоточенными параметрами. Однако последнее ограничивающее предположение не является необходимым. Ниже, следуя Найквисту, приводится доказательство частотного критерия, применимое к системам, имеющим передаточные функции в виде дробно-рациональных или трансцендентных

функций от т. е. применимое к системам, содержащим как сосредоточенные, так и распределенные параметры.

Итак, не накладывая ограничений на вид функции предположим, она удовлетворяет следующим условиям:

I) является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси;

II) функция

III) предел функции

Первое условие обозначает, что разомкнутая система должна быть устойчива.

Рис. XI.2. Направление обхода окружности с на плоскости

Рис. XI.3. Замкнутые контуры обхода в левой и правой полуплоскостях

Второе, условие требует, чтобы характеристическое уравнение замкнутой системы, определяемое выражением не имело чисто мнимых нулей.

Из третьего условия следует, что при достаточно больших функция не должна возрастать. Очевидно, что этому условию удовлетворяют все физические системы, имеющие ограниченную полосу пропускания, для которых

Задача состоит в нахождении необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять импульсная переходная функция определяемая в общем случае интегралом

взятым по окружности бесконечно большого радиуса в плоскости (рис. XI.2) для того, чтобы

Так как из условий II и III следует, что подынтегральное выражение (XI. 12) не содержит особенностей на мнимой оси, то можно написать

где — замкнутые контуры (рис. XI.3), состоящие из мнимой оси и полуокружностей бесконечно большого радиуса, расположенных соответственно в левой и правой полуплоскости.

Но при первый интеграл в правой части выражения (XI. 14) стремится к нулю, т. е.

и, следовательно,

При аналитичности функции и выполнении первого условия, подынтегральное выражение (XI. 16) не может иметь внутри существенных особенностей. Полюса же подынтегрального выражения (XI. 16), расположенные внутри если таковые существуют, должны находиться по третьему условию на конечном расстоянии от начала координат. Из этих двух положений следует, что внутри подынтегральное выражение (XI. 16) может иметь лишь конечное число полюсов и интеграл (XI. 16) можно вычислить, пользуясь теорией вычетов.

Для этого возьмем такой вид функции чтобы не изменялось число полюсов внутри Итак, пусть функция

тогда

Произведя в интеграле (XI. 17) замену переменной, получим

где — функция от кривая в -плоскости, соответствующая контуру в плоскости

При этом мнимая ось на плоскости превращается в геометрическое место точек а полуокружность бесконечно большого радиуса — в кривую, охватывающую начало координат или находящуюся в непосредственной близости от функции

Поэтому и подынтегральное выражение (XI. 18), вообще говоря, многозначно, и кривая интегрирования Г расположена на соответствующей римановской поверхности.

Начнем теперь деформировать (стягивать) контур интегрирования, заботясь лишь о том, чтобы он не пересекал точку с координатами — и те из точек разветвления, которые мешают этому стягиванию, если таковые существуют. Это деформирование контура не изменяет значение интеграла, потому что подынтегральное выражение является аналитическим во всех остальных точках. В точках разветвления, мешающих прохождению контура, части контура могут быть разрезаны и соединены таким образом, чтобы деформирование могло продолжаться, не затрагивая точек разветвления. Это может быть сделано без изменения значения интеграла (XI.18). Таким образом, контур интегрирования может стягиваться до тех пор, пока он не превратится в одну или несколько малых окружностей, внутри которых расположены полюса.

Полное значение интеграла (для очень больших значений согласно теории вычетов будет равно

где через обозначен корень уравнения , а через — его порядок. Вещественная часть положительна, так как внутри кривой находятся лишь точки, для которых . Поэтому система устойчива или неустойчива в зависимости от того, равняется или нет нулю выражение

Но последнее выражение соответствует числу оборотов, которое совершает годограф (геометрическое место точек вокруг точки

Если то вычисления становятся несколько длиннее, но в своей основе остаются теми же. В этом случае интеграл будет равен

когда все корни уравнения различны.

Если корни не различны, то выражение (XI. 17) примет вид

где коэффициенты конечны и отличны от нуля, Таким образом, оказывается, что по существу результат остается одним и тем же, как и для

Но если хотя бы один из полюсов X расположен в правой полуплоскости, то согласно выражению (XI. 17)

Следовательно, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы точка находилась вне геометрического места точек

Таким образом, мы приходим к следующему частотному критерию устойчивости. Для того чтобы замкнутая система, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии удовлетворяет условиям (I-III), была устойчива, необходимо и достаточно иметь число оборотов вектора при изменении от до относительно точки , равное нулю.

Заметим, что при выводе критерия в отличие от доказательства, приведенного в гл. XII, нигде не предполагалось, что функция является дробно-рациональной функцией от Единственными ограничениями, которым должна удовлетворять функция являются условия I-III.

Этому могут удовлетворять как трансцендентные, так и дробно-рациональные функции. Поэтому критерий устойчивости Найквиста применим к системам не только с сосредоточенными, но и с распределенными параметрами.

Обобщение сформулированного выше критерия на астатические системы, а также на системы неустойчивые или нейтрально устойчивые в разомкнутом состоянии, передаточная функция которых имеет известное число полюсов в правой полуплоскости или на мнимой оси, не представляет затруднений.

Предположим, например, что

где функция удовлетворяет условиям I-III, -конечное целое число.

Итак, пусть имеют место следующие три условия:

1а) функция является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси;

Ввиду того, что функция имеет полюс в точке представим выражение (XI. 14) для в следующем виде:

предположив, что в первом интеграле интегрирование ведется по замкнутому контуру состоящему из полуокружности бесконечно большого радиуса, находящейся в левой полуплоскости, всей мнимой оси, за исключением точки и полуокружности бесконечно малого радиуса, охватывающей точку справа. Контур интегрирования во втором интеграле отличается от контура интегрирования в первом лишь тем, что полуокружность бесконечно большого радиуса расположена в правой, а не в левой полуплоскости.

Рис. XI.4. Направление обхода точки

Но по тем же соображениям, что и в случае (XI. 15), первый интеграл в правой части выражения (XI.22) при равен нулю, т. е.

и, следовательно,

Рассуждая так же, как и ранее, получим что и система устойчива в том случае, если функция не имеет нулей находящихся в правом контуре интегрирования на рис. XI.4, не содержащем начало координат.

Из-за условия (III а) счет числа оборотов вектора определяющего число нулей следует производить, изменяя лишь вдоль мнимой оси и полуокружности бесконечно малого радиуса. Принимая во внимание условие (III а), получим

где

Из последнего выражения видно, что при изменении вдоль малой полуокружности по часовой стрелке конец вектора будет скользить вдоль окружности бесконечно большого радиуса и повернется при этом на угол

Таким образом, мы приходим к обычной формулировке критерия Найквиста для астатических систем (см. гл. XII, кн. 1), но теперь применимого уже к системам, передаточные функции которых представляют собой не только дробно-рациональные, но и трансцендентные функции от удовлетворяющие условиям .