4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ПРОИЗВОЛЬНЫМ СИГНАЛАМ НА ВХОДЕ И ВЫХОДЕ. ПРОБЛЕМА ЗАПАСЕННОЙ ЭНЕРГИИ

При определении динамических характеристик нормально функционирующей системы автоматического регулирования или ее части применение пробного сигнала нежелательно как по соображениям безопасности, так и нетипичности такого вида сигнала для данной системы. Но очевидно, что наибольшей скорости получения результата следует ожидать, когда динамические характеристики определяются по неустановившемуся движению системы. При этом задача определения характеристик решается сравнительно легко, если на вход системы подать соответствующим образом выбранный пробный сигнал и если в момент подачи пробного сигнала система находилась в покое [1]. Тогда нижний предел в

интегральном уравнении (III.9) можно положить равным нулю, и оно принимает вид

Но в общем случае система не успевает рассеять запасенную в ней энергию, и тогда реакция системы включает в себя вынужденную составляющую и составляющую свободного движения

Рис. III.5. Кусочно-линейный сигнал и его вторая производная

Таким образом, определение с помощью уравнения (II 1.9) предполагает выделение сигнала равного

Способы приближенного вычисления будут приведены ниже. Если входной сигнал — медленно изменяющаяся функция, которая легко представляется в виде кусочно-линейной функции (рис. II 1.5), то естественно воспользоваться такой динамической характеристикой, как реакция на линейно-возрастающее воздействие.

Очевидно, что, интегрируя выражение (III. 16) дважды по частям и учитывая, что

получим

где — реакция системы на ступенчатое, воздействие;

— реакция системы на линейно-возрастающее воздействие. Реакцию системы можно записать с помощью интеграла свертки:

где, как и раньше, составляющая реакции, обусловленная наличием запасенной энергии,

а составляющая реакции, обусловленная поданным воздействием,

Вычислив можем определить реакцию системы на линейно-возрастающее воздействие из

Так как является кусочно-линейной функцией (см. рис. III.5), то

где

Тогда для

где

Разложение в ряд ортогональных функций имеет вид

Будем искать также в виде

На основании последних двух выражений можно написать

Сравнивая выражения (III.21) и (III.22), получим для коэффициентов разложения реакции на линейно-возрастающее воздействие:

Коэффициенты разложения на -интервале измерения определяются соотношениями

где — коэффициенты разложения на -интервале.

Вычислительное устройство для определения динамических характеристик данным методом должно состоять из блока вычисления блока деления и анализатора спектра. Структурная схема вычислительного устройства показана на рис. III.6.

Рис. III.6. Структурная схема вычислительного устройства

При определении динамических характеристик возникает необходимость вычисления составляющей, обусловленной запасенной энергией. Так, при определении импульсной переходной функции объекта из выражения (III. 17) нужно знать величину

т. е. составляющую реакции от действия входного возмущения при Для вычисления этой составляющей необходимо знать на интервале а практически — достаточно на Если известны разложения в степенной ряд, то можно получить, используя формулу (111.24) в виде

Для вычисления не обязательно знать прошлые входные воздействия. Составляющая реакции объекта записывается в виде

Однако положение полюсов передаточной функции объекта неизвестно. Можно аппроксимировать выражением

где — выбранные заранее полюса, причем За критерий приближения возьмем следующие равенства:

Подставив в выражение (III.26) из (III.25), получим систему уравнений:

из которых можно определить Следует отметить, что точность аппроксимации сильно зависит от числа выбранных полюсов Р и их положения относительно истинных полюсов объекта.

Для примера рассмотрим объект с передаточной функцией

Аппроксимируем ее парой полюсов тогда

Допустим Если коэффициенты выбраны из условия (III.26), то можно записать

откуда

в то время как действительная составляющая запасенной энергии

Относительная ошибка аппроксимации приведена на рис. II 1.7:

Можно вычислить используя разложения реакции объекта в ряд Тейлора относительно точки

Рис. III.7. Изменение относительной ошибки аппроксимации

Требуемое число членов ряда зависит от вида сигнала и от допустимой ошибки аппроксимации.