2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОЦЕНОК ТОЧНОСТИ ПРОЦЕССА АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ. НАИБОЛЕЕ НЕБЛАГОПРИЯТНЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

В предыдущем разделе было выяснено, что статическая точность процесса автоматической стабилизации однозначно определяется средним значением функции описывающей возмущающее воздействие, и коэффициентом усиления системы, а характеристики динамической точности процесса (и суммарной точности в случае воздействий, ограниченных по модулю) связаны с характеристиками воздействий и системы при помощи неравенств.

Рис. V.2. Наиболее неблагоприятные воздействия класса А: а — импульсное; б - внезапно приложенное с постоянным уровнем; в — последовательные класса или с возрастающей степенью неблагоприятности при ; г — последовательные с возрастающей степенью неблагоприятности при ; д — последовательные класса с возрастающей степенью неблагоприятности при

Для рассмотренных семи классов возмущающих воздействий было установлено семь неравенств: (V.20), (V.21), (V.23), (V.24), (V.36) — (V.38). Если варьировать возмущающие воздействия, оставляя неизменными учитываемые в неравенствах их характеристики, то можно найти воздействия или пределы их последовательностей, для которых рассматриваемые характеристики точности регулирования принимают наибольшие значения. Наибольшие значения характеристик точности, достигаемые в пределе при варьировании возмущающих воздействий данного класса с соблюдением постоянства их количественной характеристики, мы будем называть предельными [2], а возмущающие воздействия, при которых характеристики принимают предельные значения,

наиболее неблагоприятными возмущающими воздействиями.

Найдем предельные значения характеристик Для действий классов и выделим в классах этих воздействий наиболее неблагоприятные воздействия. В случаях воздействий классов эта задача решается просто. В самом деле, достаточно заметить, что неравенство (V.20) превращается в равенство, когда — импульс, а неравенство (V.23) превращается в равенство, когда — внезапно приложенное постоянное воздействие (см. рис. V.2, а, б). Следовательно, предельные значения оценок совпадают соответственно с правыми частями неравенств (V.20) и (V.23), а соответствующие им наиболее неблагоприятные воздействия — импульс и внезапно приложенное постоянное воздействие.

Условимся предельные значения оценок обозначать символами этих оценок с чертой наверху. Тогда установленный выше результат можно записать в виде

В случае воздействий классов задача несколько сложнее, так как нет таких воздействий, которые обращали бы неравенства (V.21) и (V.24) в равенства.

Найдем сначала предельные значения оценки Для воздействий класса . С этой целью воспользуемся равенством (V. 11)

и равенством

которое в силу теоремы Релея следует из равенства (V.5).

Сравнив эти равенства, заметим, что правая часть первого из них при условии постоянства правой части второго достигает максимума, когда

где — резонансная частота для которой

При условии (V.43) оценка принимает значение, равное что является предельным значением, т. е.

Сравнив равенство (V.44) с неравенством (V.21), найдем, что их правые части совпадают, когда

Можно указать класс передаточных функций для которых данное условие выполняется. Это такие передаточные функции, которым соответствуют постоянные знаки у импульсных переходных функций. Тогда

Для системы с такой передаточной функцией

Предельное значение оценки для таких систем найдем при помощи равенства

Предельное значение оценки для воздействий класса можно найти аналогично. С этой целью следует воспользоваться равенствами

и

из которых следует, что максимум оценки при варьировании функции и постоянстве величины достигается при

тогда оценка принимает свое предельное значение согласно равенству

Выясним вид наиболее неблагоприятных воздействий. Как можно заключить по виду функции в классах нет воздействий,

для которых оценки и принимают предельные значения. Следовательно, строго говоря, в этих случаях нельзя выделять наиболее неблагоприятные воздействия. Однако можно наметить такие последовательности воздействий, чтобы соответствующие им значения оценок или стремились к значениям как к пределам. Выбирая из этих воздействий такие, которым соответствуют значения оценок точности, отличающиеся от предельных не более чем на заданные малые величины, мы их можем рассматривать практически как наиболее неблагоприятные.

Примером такой последовательности воздействий в классе при заданном значении характеристики и при является последовательность воздействий вида (рис. V.2, в)

где — произвольная постоянная, а — неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел.

Из этой последовательности наиболее неблагоприятными воздействиями практически будут такие, для которых достаточно велико. Это длительные гармонические воздействия с частотой ырез и с малой амплитудой. При практически наиболее неблагоприятным воздействием является внезапно приложенное постоянное воздействие большой длительности Г, но малой величины, равной (Рис V.2, г).

В классе функций при заданном значении характеристики и при практически наиболее неблагоприятным воздействием является гармоническое воздействие с амплитудой, равной длительности если Т достаточно велико. При в тех же условиях практически наиболее неблагоприятным воздействием является равномерно нарастающее до нового постоянного значения воздействие (рис. V.2, д) со скоростью нарастания, равной и новым постоянным значением, равным если Т достаточно велико.

Рассмотрим воздействия класса В. В первом варианте сведений о возмущающих воздействиях, предполагающих знание того, что — стационарный случайный процесс и что дисперсия величины известна, можно установить так же, как это делалось для воздействий класса что предельное значение оценки точности регулирования [см. выражение (V.27)] определяется формулой

Соответственно для предельного значения оценки справедлива формула

Если то оценка принимает свое предельное значение, когда воздействие — стационарный случайный процесс, совпадающий по своим характеристикам с гармоническими колебаниями на частоте <лрез с амплитудой (рис. V.3, а).

Если ырез то предельное сначение оцеики не достигается. В этом случае практически наиболее неблагоприятные воздействия того же вида, эквивалентные гармоническим воздействиям с достаточно малой частотой.

Рис. V.3. Характеристики наиболее неблагоприятных воздействий, описываемых математически стационарными случайными процессами: а — спектральная плотеость и эквивалентный детерминированный процесс в первом варианте сведении о возмущающих воздействиях; б — спектральная плотность производной и эквивалентный детерминированный процесс во втором варианте сведений о возмущающих воздействиях

Во втором варианте сведений о возмущающих воздействиях, предполагающем, что — стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией предельное значение оценки связано с дисперсией [У формулой, аналогичной формуле (V.47):

Если вместо оценки пользоваться оценкой данную формулу можно заменить следующей:

При варьировании воздействий оценка может принимать свое предельное значение при Если то предельное значение этой оценки не достигается. В обоих случаях можно сделать замечания, аналогичные предыдущим, включая указания на вид наиболее неблагоприятных воздействий, с тем лишь различием, что стационарный случайный процесс здесь может иметь ненулевое математическое ожидание и другое значение дисперсии (рис. V.3, б). При амплитуда гармонических колебаний, эквивалентных его переменной составляющей, равна величине

В третьем варианте сведений о возмущающих воздействиях, предполагающем известными величину ограничения по модулю

возмущающих воздействий, предельное значение применяемой здесь оценки точности регулирования определяется формулой

Рис. V.4. Форма наиболее неблагоприятного воздействия, ограниченного по модулю

При варьировании возмущающих воздействий оценка может принимать значения, сколь угодно близкие к величине , однако никогда ее не достигнет (см. гл. IV).

Практически наиболее неблагоприятные воздействия имеют вид воздействий постоянной величины но, вообще говоря, с изменяющимся знаком (см. гл. IV). Примерный вид такого воздействия показан на рис. V.4.